SUPERIEURE CARTESIENNE. 33 



droite A, quoiqu'il fût plus exact (remployer une autre dénomination , (elle 

 que celle de déterminantes langent/elles, puisque, à proprement parler, 

 X et Y ne sont pas des coordonnées. Nous dirons aussi que A = est l'équa- 

 tion de la droite A en coordonnées tangentielles, les valeurs de ces coordon- 

 nées X et Y étant supposées connues. 



Actuellement, si nous ne donnons entre X et Y qu'une seule relation, 

 F (X, Y) = 0, il est clair que la droite A pourra occuper une infinité de 

 positions différentes; l'enveloppe de toutes ces positions sera une courbe dont 

 il nous sera permis de regarder F (X, Y) = comme l'équation en coor- 

 données tangentielles, et dont on trouvera l'équation en coordonnées recli- 

 lignes par la méthode connue des enveloppes. 



Mais, sans qu'il soit nécessaire, de rechercher celle équation, on peut 

 affirmer que si F (X, Y) est du n""' degré en X et Y, la courbe sera de la 

 n'"" classe, c'est-à-dire que , par un point, on pourra en général lui mener 

 n tangentes. 



En effet, nous savons que A = est l'équation d'une tangente déterminée 

 par un système de valeurs de X et Y satisfaisant à F (X, Y) = 0. Pour que 

 cette tangente passe pour un point x', y' il faudra que la relation A' = 

 soit satisfaite, A' étant ce que devient A si l'on y change x et y en x' et y'. 



Or, de ces deux relations A' = et F (X, Y) = 0, la première est du 

 premier degré, la seconde du n'" e en X et Y; elles donneront par conséquent 

 en général n systèmes de valeurs pour ces inconnues, et par suite // tangentes 

 passant par x' , y', c . q . /'. d. 



Art. I. — Théorèmes généraux. 



Cette nouvelle forme F(X, Y) = de l'équation des courbes planes va 

 nous permettre d'établir, parallèlement aux théorèmes que nous avons dé- 

 montrés pour les courbes du «""'ordre, les théorèmes corrélatifs pour celles 

 de la n"" classe. 



Lemme fondamental. Représentons par A n une fonction de la forme 



[ax n -+- l'y,, ■+- c) X -+- ("■'■„ ■+• l>'y„ ■+■ c) Y -+■ «".»■„ -t- •>'.'/„ •*- c ' 



