SUPERIEURE CARTESIENNE. 35 



le point P, , nous pourrons déduire du Iemme fondamental l'énoncé suivant : 



V. Théorème fondamental. Si de chacun de deux points on mène les n 

 tangentes à une courbe de la n me classe, et que par chacun des n points 

 d'intersection d'une tangente du premier système avec une tangente du 

 second [ce qui peut présenter 1.2....U combinaisons différentes), on 

 mène les n — 2 autres tangentes à la courbe , ces n(n — 2) tangentes 

 envelopperont une courbe de la (n — 2)'" e classe. 



Remarque. Dans des cas particuliers, cette courbe pourra se réduire à un 

 ou plusieurs systèmes de points et d'une courbe de classe moins élevée, ou 

 à plusieurs courbes moins élevées; nous n'examinerons, parmi ces cas, que 

 le plus intéressant , celui dans lequel cette courbe se réduil à un système de 

 n — 2 points, c'est-à-dire le cas où les »(n — 2) tangentes se groupent 

 en n — 2 systèmes de n tangentes concourant en un même point ; et il 

 suffît pour cela que n — 3 systèmes, le premier de n — I tangentes, le 

 second de n — 2 , etc. , le (« — 3)'"'' de 3 tangentes, concourent respec- 

 tivement en n — 3 points. 



Dans ce cas, par chacun de ces // — 2 points, comme par chacun des 

 deux points donnés, passent n tangentes à la courbe; or, ces tangentes qui 

 concourent, par hypothèse, au nombre de n, en n — -2 points, ont été 

 menées par les n points d'intersection , deux à deux , des tangentes des 

 deux premiers systèmes, et il va de soi que ces deux premiers systèmes 

 passent aussi par ces n points ; de sorte que nous avons deux systèmes de 

 n points tels, que chaque droite qui relie un point du premier système à un 

 point du second est tangente à la courbe, ou bien un système de deux poly- 

 gones conjugués de n sommets circonscrits à la courbe. 



Ce cas est" possible pour toutes les courbes jusqu'à la cinquième classe 

 inclusivement; au delà il ne peut se réaliser que pour des courbes particu- 

 lières. Nous croyons inutile de répéter la démonstration que nous avons 

 donnée de la propriété similaire pour les courbes du n me ordre, et à laquelle 

 il n'y a pas un mot à changer pour l'appliquer ici (*). 



(') Après avoir établi, dans l' Addition, l'existence des polygones conjugues dans les courbes 

 des cinq premiers ordres, nous ne reviendrons pas sur les propriétés corrélatives des courbes 

 des cinq premières classes, propriétés qui résultent à 1 évidence du principe de dualité (1870). 



Fig. VI. 



