50 FONDEMENTS D'UNE GEOMETRIE 



e! ABCDEF se décomposent en deux systèmes de pentagones conjugués : 



1° /,'i'AHC et ghdef; 

 2° kiabc et ghUEF. 



Or, ces deux systèmes sont situés de telle manière que la droite qui unit 

 les points d'intersection a, (3 des côtés opposés A et a, B et b, coupe six 

 couples de côtés opposés : 



A et «, Bot/), gel g, h et A, kelk, ieti, 



en six points situés évidemment sur cette droite; donc, en vertu du corol- 

 laire précédent, les quatre autres couples de côtés opposés C et c, D et d , 

 Eet?, F et /'se couperont également sur cette droite. 



La démonstration générale que nous avons donnée de ce corollaire montre 

 pourquoi les côtés opposés seuls jouissent de cette propriété. 



Nous venons de déduire de la forme générale sous laquelle nous avons 

 mis l'équation des courbes du n'" e ordre l'extension des théorèmes de Pappus, 

 de Desargues et de Pascal aux courbes algébriques jusqu'au cinquième 

 ordre, et la discussion dans laquelle nous sommes entré au sujet des sys- 

 tèmes de polygones conjugués de Tordre de la courbe a fait voir que, poul- 

 ie troisième ordre, à deux sécantes arbitraires, correspondent 1.2.3 sys- 

 tèmes de triangles conjugués; que, pour le quatrième ordre, à une sécante 

 arbitraire, correspondent I .2.3.4 systèmes de quadrilatères conjugués; 

 que pour le cinquième ordre enfin, il n'y a plus d'arbitraire, dans une 

 sécante, que sa direction ou l'un de ses points. 



Si nous voulions étendre les applications de nos théorèmes généraux au 

 delà du cinquième ordre, elles seraient limitées, d'abord à des courbes tout 

 à fait particulières et à un système unique de polygones conjugués du même 

 ordre; ensuite, aux théorèmes de Pappus et de Desargues seulement; parce 

 que, du moment où il n'existe qu'un seul système de polygones conjugués 

 du n""' ordre, il ne peut pas en exister de l'ordre n -j- 4 , ce qui est indis- 

 pensable à l'application du théorème de Pascal. 



