28 FONDEMENTS I) UNE GÉOMÉTRIE 



En faisant coïncider les deux sécantes primitives, nous arriverons à ce 

 théorème : 



Théorème. Si par les cinq points d'intersection d'une sécante arec une 

 courbe du cinquième ordre, on mène à celle-ci des tangentes, elles couperont 

 la courbe en quinze points qui seront situés en général sur une courbe du 

 troisième ordre. 



Pour des positions particulières de la sécante, cette courbe du troisième 

 ordre pourra se réduire à un système de trois droites. 



Nous nous bornerons à l'énoncé analytique du théorème de Pappus poul- 

 ies deux cas mentionnés dans les théorèmes précédents; en employant des 

 notations analogues à celles dont nous avons fait usage plus haut, nous 

 aurons, pour ces deux cas, les relations : 



Extension du théorème de Pappus : 



Cas particulier : 



Le théorème de Desargues (pie nous avons démontré d'une manière tout 

 à fait générale, s'énoncera : 



Extension du théorème de Desargues. Lorsqu'on a un système de deux 

 pentagones conjugués inscrits èi une courbe du cinquième ordre , une trans- 

 versale quelconque rencontre les dix côtés de ces pentagones et la courbe en 

 quinze points qui sont en involution (*). 



L'un des corollaires les plus importants de cette proposition capitale est 

 le suivant, dont nous pouvons également omettre la démonstration : 



Corollaire. Si deux systèmes de deux pentagones conjugués inscrits à 

 une courbe du cinquième ordre, sont situés de telle manière que six couples 

 de côtés se coupent sur une même droite, les quatre autres couples de côtés 

 se couperont sur la même droite. 



Enfin ce corollaire, combiné avec le suivant, fournit la démonstration 

 directe du théorème de Pascal pour les courbes du cinquième ordre : 



(') Ce théorème, de même que celui de Pascal , sera généralisé dans {'Addition (1870). 



