SUPÉRIEURE CARTESIENNE. 23 



Appelons A, B, C, D les quatre côtés du premier quadrilatère; a, b, c, d Fi §- n 

 ceux du second, chaque côté du premier, tel que A, coupant les trois côtés 

 non opposés du second b, c, d en trois points situés sur la courbe. 



Nous pouvons décomposer la figure en deux systèmes de triangles conju- 

 gués inscrits, satisfaisant à la condition énoncée dans le corollaire précédent. 

 En effet, si l'on joint le point d'intersection de B et c à celui de b etc par 

 une droite auxiliaire e, les trois transversales a, d, e, qui s'appuient sur les 

 deux sécantes B etC, rencontreront la courbe, en vertu du théorème fonda- 

 mental , en trois points situés en ligne droite, et qui détermineront une nou- 

 velle auxiliaire /'. Actuellement, considérons les deux systèmes de triangles 

 conjugués inscrits BC/'et a, d, e; b, c, fol \De; la droite qui unit les points 

 d'intersection de A et a, B et b, coupe les côtés e et f communs aux deux 

 systèmes de triangles conjugués ; nous pourrons donc dire que quatre couples 

 de côtés A et a, B et b, e et e, /"et /"se coupent sur cette droite; les deux 

 autres couples C et c, D et d se coupent donc sur la môme droite, c.q.f.d. 

 Dans la figure, ces quatre points sont désignés par a, (3, y, â. 



Art. IV. — Courbes dit quatrième ordre. 



Le théorème fondamental I, appliqué à ces courbes, s'énoncera : 

 Théorème fondamental. Etant données deux sécantes qui coupent cha- 

 cune en quatre points une courbe du quatrième ordre, si l'on joint tes points 

 d'intersection de la première à ceux de la seconde par quatre transversales 

 qui ne partent pas deux à deux d'un même point de la courbe [ce qui peut se 

 faire de 1.2.3.4 manières différentes), ces quatre transversales détermi- 

 neront sur la courbe huit autres points qui seront situés sur une conique. 



Remarque. Si trois de ces nouveaux points sont en ligne droite, il est Fi g . m. 

 clair que la conique se réduira à un système de deux droites ; or, il est aisé 

 d'obtenir ce résultat (*). A cet effet, après avoir mené une sécante quelconque 

 d, par deux de ses points d'intersection avec la courbe, on mènera deux 



(*) Nous ne donnons que sous réserves cetle construction, dont la généralité n'est pas suffi- 

 samment établie (1870). 



