SUPÉRIEURE CARTESIENNE. 17 



sons cette tonne, elles ne peuvent admettre au plus que 1.2... n solutions, 



C.q.f.d.Ç). 



V. Corollaire du théorème de Desar<;ies. Si deux systèmes de deux 

 polygones conjugués de u côtés inscrits à une courbe du n"" - ordre sont situés 

 de telle manière que (n -f- 1) couples de côtés se coupent sur une mente droite, 

 l es („ — .j) autres couples de côtés se couperont sur cette même droite (**). 



En effet, si nous désignons, comme plus haut, par 0. . . 0„ , ; ()'. . . ()'„ _ , 

 les points d'intersection d'une transversale avec le premier système de poly- 

 gones conjugués inscrits; de même par P . . . P„_ ,; P' . . . P' a _, ceux de la 

 même transversale avec le second système; par M ... >!„_, ses points d'in- 

 tersection avec la courbe, la relation (4-), appliquée aux deux systèmes de 

 polygones, s'écrira : 



OM...O„_,M 0M„_, ... 0„_,M„_, PM ... 1>._,M PM„_, ... P._,M._, 



■ et 



OM...OL.M O'M,,., ... 0;,_,M„_, P'M...P;_,M PM„_, ... P„ ,M._, 



Mais par hypothèse P, P,....P„_,, P' coïncident respectivement avec 



(*) A cette démonstration, qui n'est peut-être pas entièrement rigoureuse, on préférera cer- 

 tainement la suivante, que nous devons à une obligeante communication de M. Gilbert. Repre- 

 nons les équations qui expriment l'involution de on points, et considérons les deux fonctions de 

 degré n en z : 



l.r -x. -) i.r, -h s) <r ,_i -' -1 lx' -4- z) (aj, •+• z) ... (x' v -t -+- Z) 

 et ; ; ' 



xx l ...x„- 1 x'x l ...œ„-i 



Elles sont égales pour z = 0; elles sont en outre égales, en vertu des relations qui expriment 

 l'involution, pour n autres valeurs .a = a, ;=«,, ...z = u„_,; or, on sait que deux fonctions 

 entières de degré n qui sont égales pour n -+- 1 valeurs de la variable sont identiques; donc nos 

 deux fonctions le sont; et, par suite, les coefficients de;" étant égaux, les dénominateurs le 

 sont. 



Quel que soit r, on a donc identiquement : 



(a; -+- a) (a;, -+- z) .. (as,-, + z) = [a)' -+- s) (x\ -+- s) . {x'„- l + z). 



Ces deux polygones identiques, égalés à zéro, donnent les mêmes racines pour z. Celles du 

 premier sont 



X j X I • ■ • ) •* n 1 



celles du second 



le théorème est donc démontré (1870). 



(**) Ce corollaire recevra, dans Y Addition, la même généralisation que le théorème (1870). 



