SUPERIEURE CARTESIENNE. 37 



Parmi les nombreux corollaires que Ton peut encore déduire des deux 

 théorèmes précédents, nous n'examinerons que le plus essentiel, celui qui 

 doit nous conduire à l'extension du théorème de Brianchon. 



III'. Corollaire. Lorsque , dans une courbe de la n nie classe, il existe des 

 systèmes multiples de deux polygones conjugués circonscrits de n sommets , 

 il existera également des systèmes de deux polygones conjugués circonscrits 

 de n -f 1 sommets. 



En eiïet, par chacun des deux points P et P' soient menées n tangentes 

 à la courbe; désignons ces tangentes par 0, 1, ... (n — 1);0', I', ... (n — 1)'; 

 et supposons que les n — 2 nouvelles tangentes menées par chacun des 

 points d'intersection (0,0') = / ,(1, 1') = /,,... (n — 1,«' — l') = i n _ l 

 se groupent en n — 2 systèmes de n tangentes concourant en n — 2 points 



Si, actuellement, nous menons les n — 2 nouvelles tangentes par chacun 

 des n — 3 points /„..../„ _ 4 précédents, et en outre par les trois points 

 (n — 3, n> — 2'), (n — 2, n' — 1'), (n — 1, n 1 — 3') que nous appel- 

 lerons I„_ r ,, I„_a, Pt I„_ij toutes ces tangentes vont, en vertu de la remar- 

 que précédente, se grouper également en n — 2 systèmes de n tangentes 

 concourant en n — 2 points Q , Q, . . . Q„_ 3 ; nous aurons ainsi les deux 

 systèmes de deux polygones conjugués circonscrits de n sommets 



P, 1'', i ...i„_i, i„_3, >'„_j, /,._,; q , qi...q*s, 



ce qui donne en tout 2« sommets; et 



P, P', i ...t„_„ l„_ : ,. I B _ S , !„_,; Qo, Q,...Q„_ 3 , 



ce qui donne également 2« sommets. 



Ces deux systèmes de deux polygones conjugués circonscrits de // sommets 

 ont les n — 1 premiers sommeis communs P, P', t' ... i n _ t ; et si nous ne 

 tenons pas compte de ces sommets, les 2 \%i — -(n- — ■ l)i ou les 2 {n + 1) 

 sommets restants formeront un système de deux polygones conjugués cir- 

 conscrits de n -f- 1 sommets, c'est-à-dire de deux polygones de n + 1 

 sommets, tels que chaque sommet de l'un soit le point de concours de n tan- 

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