Fig. VII. 



40 FONDEMENTS DUNE GEOMETRIE 



Par hypothèse s s n _ , et s , coïncident respectivement avec S . . . S„ _ , 



et S . H en résulte que si nous appliquons le théorème IV à nos deux sys- 

 tèmes de polygones conjugués, et (pie nous divisions membre à membre les 

 deux relations à n membres fournies par ce théorème, nous obtiendrons les 

 relations plus simples : 



sin (t, Si) ... sin [t, s„. ,,) _ sin ((<"-*>, *,,) ... sin (*"-", s„._,.) 



sin(/,S 1 ,)"...8in((,S.._ 1 .) _ ~ sin (< ( —'Vs,.) ... sin (J(— «', S„._,,) 



Il est aisé de conclure de là , en vertu d'un lemme algébrique analogue à 

 à celui que nous avons démontré plus haut, que chacun des s doit se con- 

 fondre respectivement avec l'un des S; ainsi, par exemple, que s,, coïncide 

 avec S r ; autrement dit les droites qui unissent le point S aux sommets v et 1' 

 des deux polygones se confondent, ou bien la droite il' passe par S; et de 

 même des autres, c.q.f. d. 



Remarque. Il est à remarquer que la démonstration suppose qu'aucune des 

 tangentes menées par S à la courbe, ne se confond avec Tune des droites 

 qui unissent ce point S aux sommets des deux polygones, puisque, dans 

 ce cas, le premier membre des relations précédentes deviendrait indéter- 

 miné. 



En combinant les deux corollaires III' et V on arrive immédiatement à 

 l'extension du théorème de Brianchon, que nous énoncerons sous cette 



forme : 



VI'. Extension du théorème de Brianchon. Dans un système de deux 

 polygones conjugués de n + 1 sommets circonscrits à une courbe de la n me 

 classe, les droites qui relient les sommets opposés concourent en un même 

 point (*). 



En effet, en vertu du théorème II', un système de deux polygones conju- 

 gués circonscrits de n + 1 sommets peut se décomposer en deux systèmes 

 de deux polygones conjugués circonscrits de n sommets, ayant» — 1 som- 

 mets communs. Or, si nous considérons les droites qui relient respective- 

 ment deux sommets du premier de ces polygones aux sommets opposés du 



(') Ce théorème recevra, dans ['Addition, la même généralisation que le précédent. 



