48 FONDEMENTS D'UNE GEOMETRIE 



toujours possible, les quinze tangentes formeront trois systèmes de cinq 

 droites concourant en un même point. 



Nous aurons ainsi un système de deux pentagones conjugués circonscrits 

 à une courbe de la cinquième classe , système pour lequel l'application du 

 théorème corrélatif de celui de Pappus donnera la relation 



A„. A, . A s . A,. A 4 -^- Ai. à\. 4;. Ai. \\. 



Corollaire. Si d'un point, ou mène cinq tangentes èi une courbe de la cin- 

 quième classe, et que par les points de contact de celles-ci l'on mène les trois 

 autres tangentes à la courbe, ces quinze tangentes formeront (rois systèmes de 

 cinq droites qui envelopperont en général une courbe de la troisième classe. 



Ce lieu de la troisième classe pourra, dans des cas particuliers, se réduire 

 à une conique et un point, ou à trois points qui seront chacun le point de 

 concours de cinq de ces tangentes. 



Le corrélatif du théorème de Pappus s'exprimera, pour ce dernier cas, par 

 la relation : 



ij. A s . â 3 . A, — A . A, . A 2 . ai. Ai. 



Le corrélatif de celui de Desargues s'énoncera : 



Théorème. Lorsque l'on a un système de deux pentagones conjugués cir- 

 concriis à une courbe de la cinquième classe , si d'un point on mène ci cette 

 courbe cinq tangentes et les dix droites qui aboutissent aux sommets de ces 

 deux pentagones , ces quinze droites seront en involuliou (*). 



Le corollaire le plus important de ce théorème est celui-ci : 



Corollaire. Si deux systèmes de deux pentagones conjugués circonscrits 

 à une courbe de la troisième classe sont situés de telle manière, que les droites 

 qui unissent six couples de sommets concourent en un même point, les 

 droites qui unissent les quatre autres couples de sommets concourront en ce 

 même point. 



Considérons actuellement un système de deux pentagones conjugués cir- 

 conscrits formés en menant par les deux points P et P' deux systèmes de cinq 



(*) Ce théorème, ;iinsi que celui de Brianehon , donné plus bas, seront généralisés d;ins ['Ad- 

 dition (1870). 



