SUPERIEURE CARTESIENNE. i9 



tangentes: 0, 1, 2, 3, 4, etc.; puis en menant par chacun des points 00', 

 11', 22', 33', 44' trois nouvelles tangentes pour former le premier système 

 des pentagones; enfin par chacun des points 00', 1 1', 23', 34', 41' trois 

 nouvelles tangentes pour former le second; supposons que ces quinze tan- 

 gentes concourent cinq à cinq en un même point (*). 



Ces deux systèmes de pentagones circonscrits dont nous désignerons les 

 sommets par : 



P, P', 0,0', ! et II, m, IV, v, VI, 



p, p', o,o', r et ir, ni', iv',v,vi', 



formeront, si nous supprimons les sommets communs, un système de deux 

 hexagones conjugués circonscrits. 



Or nous pouvons dire que les droites qui unissent les six sommets I et I', 

 Il et II', P et P, P' et P', et 0, 0' et 0' concourent en un même point i, 

 intersection de I, I' avec II , II'; donc les droites qui uniront les trois autres 

 couples de sommets opposés concourront en ce même point; d'où le théorème : 



Extensiox du théorème de Brianchox. Dans un système de. deux hexagones 

 conjugués circonscrits à une courbe de la cinquième classe , les six droites qui 

 unissent les couples de sommets opposés concourent en un même point. 



Le lecteur familier avec la géométrie supérieure aura peut-être trouvé 

 trop de longueurs dans cette exposition. Il eût préféré sans doute nous la voir 

 borner aux théorèmes généraux ; mais nous avons craint qu'une aussi grande 

 concision n'entraînât trop d'obscurités. C'est pour rendre plus aisée l'intelli- 

 gence de ces théorèmes que nous avons cru utile de les appliquer aux quatre 

 premiers genres de courbes algébriques ; si nous ne sommes pas parvenu à 

 garder une juste mesure, on voudra bien nous le pardonner en faveur de nos 

 intentions; pour ce qui nous concerne, nous eussions de beaucoup préféré 

 nous borner aux seuls théorèmes généraux (**). 



Il nous reste encore à démontrer et à généraliser le fameux théorème de 

 Newton sur les coniques; nous ferons usage, à cet effet, d'un autre système 

 de coordonnées dont nous nous occuperons au chapitre suivant. 



(*) L'existence de ces systèmes sera établie dans l' Addition (1870). 



(**} C'est à ces théorèmes seulement que nous nous attacherons dans l' Addition. 



