SUPERIEURE CARTESIENNE. §1 



que ce théorème peut s'établir indépendamment de cette existence, et d'une 

 manière très-simple; que, pour les courbes du quatrième ordre, il existe des 

 systèmes de polygones conjugués du quatrième et du cinquième ordre en 

 nombre triplement indéfini, c'est-à-dire dans lesquels trois paramètres sont 

 arbitraires; que, pour le cinquième ordre, il existe des systèmes de poly- 

 gones conjugués du sixième ordre en nombre défini, tandis que ceux du 

 cinquième sont en nombre simplement indéfini (*). 



Il semble résulter de là que, parmi ces systèmes en nombre indéfini de 

 polygones conjugués du quatrième ou du cinquième ordre inscrits à une 

 courbe de même ordre, il existera des systèmes multiples de polygones con- 

 jugués ayant deux sécantes communes, et qui donneront naissance, ainsi 

 qu'on l'a vu dans la première partie, à des systèmes de polygones conjugués 

 de l'ordre immédiatement supérieur. 



Ceci toutefois n'est qu'une induction qui a besoin d'être confirmée : pour 

 le quatrième ordre, cette confirmation est très-aisée; pour le cinquième, elle 

 présente plus de difficultés. 



Mettons l'équation des courbes du quatrième ordre sous la forme 



C t = apyJ -+- ka'p'-y'ê' — , 



«... désignant des fonctions linéaires de la forme y — ax — b. 



Le second membre renfermant dix-sept paramètres, il en est trois que nous 

 pouvons nous donner arbitrairement, par exemple h et les deux paramètres 

 de a; il est clair que les quatorze autres paramètres, ceux de fi S' , seront 



(*) On a déjà vu dans la première partie que les équations de ces courbes peuvent se mettre 



sous la forme : 



i t ...i,-ki\ ...r,= c t =o, 



c y,...^-W' l ...^ 5 = C s = 0; 

 mais on peut aussi les mettre sous la forme suivante 



</ , ,...&-W,...J'ï=A-C4=0, 



&...& — ki\ ...J' 6 = A. C s = 0; 



tous les 3, 3' et a représentant des fonctions linéaires dans lesquelles il y a deux paramètres à 

 déterminer. 



Ces formes d'équations rendent manifestes l'existence et le nombre des polygones conjugués. 



