1<; FONDEMENTS DUNE GÉOMÉTRIE 



tions différentes : car on pont faire x égal à Tune des // valeurs ./■' ou x\ 



ou x' n _ i ; puis ./-, à l'une quelconque fie ces valeurs, sauf telle qu'on a 

 prise pour x, ce qui en donne u — 1; puis x s à l'une quelconque de ces 

 mêmes valeurs, sauf les deux précédentes, ce qui en donne n — 2, et ainsi 

 de suite; ce qui fait qu'on aura en tout >i(n — 1 ) (/( — 2). .. 3.2.1 solu- 

 tions. 



Si Ton démontre maintenant que la relation donnée n'en admet pasda\an- 

 tage, le lemme sera établi. 



Or, cette relation peut se décomposer dans les équations suivantes, au 

 nombre de n : 



(i t i](i t i).(i + ±).Li)p4)-f4) 



\u xl \« xj \a .<„_|/ \(i xl \(i .r,/ \a .!'„_,/ 



f_L + L) [± . i).(_L + J_) = (_L + 1) f-L + 1) . (_L + _L) . 



\«„_i xl \«„_, .)•,/ u'„-i x n _J \»„-i xl \ff„_, x,/ W„_, x„_,! 



Nous les écrirons, en posant ] -= a, - = £, etc. : 



(« + |) (a + ?,) ... (a + £._,) = (a -t- f) (a + fi) ... (a + !„-,) 



k_, + 1) (-A,-, -+- r) ..(*„_, -»- e_ ) = (-a,-, -+- r » (a,-, -+- to -(«„-, -+- ?:_.)• 



On voit aisément que ce système de >t équations da n ine degré peut se 

 réduire à l'une d'entre elles et à it — 1 équations du (>t — 1 ) me degré de la 



forme : 



(« — «,) s?, .. ç,_, + (a 2 — «;) zf, .. ?„_, -h .. + (a- ' — «;;:!) s| = etc. 



(z — «„_, 



- . ç, .. ?„_, H- (a 2 — aj_,) tÇ, .. $„_ 2 + .. -1- (a- 1 — a^l) 2g = etc. 



Celles-ci à leur tour se réduiront à un système formé de l'une d'entre elles 

 et de /; — 2 équations du (n — 2) me degré, et ainsi de suite; de sorte que le 

 système primitif se réduira à n équations, la première du n'" e degré, la 

 deuxième du (n — 1 ) me degré, etc., la n me du premier; et l'on voit que, 



