SUPERIEl RE CARTESIENNE. JS 



Cette relation à n membres caractérise Finvolutiôn de 3w points, absolu- 

 ment comme la relation à deux membres 



OM . 0,M OM, .0,M, 

 O'M.O'.M ~ CM^O'^f, 



caractérise l'involution de 3 x 2 = 6 points. 



Nous pourrons donc énoncer le théorème suivant : 



IV. Extension du théorème de Desaugues. Lorsque l'on a un système de 

 deux polygones conjugués de n côtés inscrits à une courbe du n me ordre, une 

 transversale quelconque rencontre les 2n cotés de ces polygones et lu courbe 

 en 3n points qui sont en involution (*). 



On voit clairement par là pourquoi l'involution de six points, la seule 

 connue jusqu'à ce jour, est particulièrement, nous pourrions même dire 

 exclusivement propre aux coniques, de même qu'elle l'est, comme nous le 

 verrons, aux surfaces du second degré, et pourquoi elle doit être à peu 

 près impuissante dans l'étude des courbes et des surfaces d'un degré supé- 

 rieur. 



On pourrait mettre la relation (4), comme celle de l'involution de six 

 points, sous différentes formes; nous ne nous y arrêterons pas, et nous passe- 

 rons immédiatement à l'extension du fameux théorème de Pascal sur les 

 coniques aux courbes des troisième, quatrième et cinquième ordres. 



Cette extension se fonde sur le lemme suivant : 



Lemme algébrique. Si l'on a une relation à n -f- 1 membres de la forme 



xx, ■••*■_! _ {x ■+- a) (se, -+- a) ..(x„_i •+- a) _ _(*-+- o._,) (x, -+- a„_,) .. (ar._, -+- o«_ ( ) 

 x'x\ ... x'„_ t (x' -+- o) (x\ -+- o) .. (x„_, -+- a) (x' -+- a._,) (.>■] -+- a„_,) .. (.r„_, -t- a„_,) 



dans laquelle a a n _, sont des constantes, chacun des termes des numé- 

 rateurs .sera respectivement égal à l'un des termes des dénominateurs. 



En effet, il est évident d'abord que si cette égalité existe, la relation sera 

 satisfaite; d'autre part, que cette égalité peut donner lieu à 1.2... n solu- 



(*) On trouvera dans {'Addition une généralisation beaucoup plus considérable encore de ce. 

 théorème (1870). 



