SUPÉRIEURE CARTESIENNE. 13 



III. Corollaire. Lorsque, dons une courbe du n me ordre, il existe des sys- 

 tèmes de deux polygones conjugués i user ils de n côtés, il existera également 

 des systèmes de deux polygones conjugués inscrits de (n -\~ 1) cotés (*). 



En effet, considérons un système de deux sécantes s et *' qui coupent la 

 courbe en 0, 1, 2 ... (« - - 1); 0', 1 ', 2' ... (n' — 1'); et supposons que les 

 transversales (0, 0'), (1, i'), (2, 2') ... (n — 1, n' - - 1'), que nous dési- 

 gnerons respectivement par /„, /,, ...... t n _ ,, déterminent par leurs nou- 

 velles intersections avec la courbé (n — 2) systèmes de n points situés en 

 ligne droite : u lt , u t , u„ _ s . 



Nous aurons ainsi le système de polygones conjugués inscrits de n côtés 



s,. s', «„... w„_ 5 ; l . I, ... {„_,. 



Si nous joignons actuellement les points 0... 0'... par les n — -3 trans- 

 versales t ... t n _ , t , qui sont les mêmes que celles du système précédent, puis 

 par (il --3, n' - - 2'), (n — 2, n' — 1'), (n - - 1, n' — 3'), que nous 

 appellerons T„ 3 , T„ a , T„ _ , , ce nouveau système de transversales déter- 

 minera, par ses intersections avec la courbe, n — 2 nouveaux systèmes de 

 n points situés en ligne droite U , U, ... U„_ 3 , ainsi qu'il résulte de la 

 remarque (pie nous avons faite au sujet de l'équation (2); de sorte que nous 

 obtenons par ce moyen un nouveau système de polygones conjugués inscrits 

 de n côtés 



.s, s', U„ ... U„_ 5 ; r, t„_„ T„._ 3 , T„_,, T_. 



Ces deux systèmes de deux polygones conjugués inscrits de n côtés ont 

 n — \ côtés communs, s, s', t ... t n _ 4 ; si nous ne tenons pas compte de 

 ces côtés, les 2 |2// — (n — 1)J ou les 2 (m + 1) côtés restants formeront 

 un système de deux polygones conjugués inscrits de n -f-T côtés, c.q.f.d. 



Mettons l'équation (2) sous la forme : 



(// — u„x — h„) (y -- (/„_,.»: — !,„__,) = k' (y — a' x — 6',,) ... (y — a'„_ i*' — '>'..- 1 • 



el menons aux différentes droites y — a ô x — b u = 0, etc., par un point 



C) Comme nous l'avons dit plus liant, nous prouverons dans l' Addition la possibilité de l'exis- 

 tence des polygones conjugués que nous considérons ici (1870). 



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