12 FONDEMENTS D'UNE GEOMETRIE 



II. Extension du théorème de Pappus. Dans un système do deux poly- 

 gones conjugués de n côtés inscrits à une courbe du n me ordre , les produits 

 des distances d'un point de la courbe aux cotés de chacun de ces polygones 

 sont analogiques. 



Cas particulier. Un cas particulier du théorème fondamental est celui 

 dans lequel ou l'ail coïncider les deux sécantes primitives : dans ce cas les 

 transversales qui relient les points d'intersection des deux sécantes devien- 

 nent des tangentes à la courbe, et Ton est conduit à cette propriété : 



Corollaire. Si, par les n points d'intersection d'une sécante avec une 

 courbe du n me ordre , on mène à celle-ci n tangentes, elles détermineront 

 sur la courbe n (n — 2) points d'intersection dont le lieu sera de l'ordre 



Ce corollaire donne naturellement lieu aux mêmes cas particuliers (pie le 

 théorème I ; et entre autres au cas dans lequel le lieu de Tordre n — 2 se 

 réduit à n - - 2 droites. On voit immédiatement que le théorème II s'énon- 

 cera, dans ce cas particulier très-remarquable : 



Corollaire nu théorème de Pappus. Si les tangentes menées aux n points 

 d'intersection d'une sécante arec une courbe du n n,e ordre déterminent par leurs 

 n (n — 2) intersections avec la courbe un système de n -- 2 transversales, le 

 produit du carré de la distance d'un point quelconque de la courbe à cette 

 sécante par ses distances aux transversales, et le produit de ses dislances et 

 toutes les tangentes, sont analogiques. 



Nous nous écarterions de notre but si nous déduisions du théorème de 

 Pappus les autres corollaires auxquels il donne lieu, soit par la combinaison 

 des différents systèmes de deux polygones conjugués inscrits de )i côtés, 



qui sont, comme nous l'avons vu, au nombre de 1 . 2 (n ■ — 1), ayant 



pour cotés communs les deux sécantes primitives, soit en faisant coïncider 

 deux points d'intersection d'une même sécante, ce qui la transforme en une 

 tangente. 



Nous indiquerons plus bas quelques-unes de ces applications à des courbes 

 d'un ordre déterminé; mais il est un point sur lequel nous devons fixer notre 

 attention, parce que nous en partirons pour arriver au théorème de Pascal. 

 C'est celui-ci : 



