SUPERIEURE CARTESIENNE. 1 1 



Si deux systèmes, l'un de n — 1 , l'autre de n — 2 points distincts, sont 

 en ligne droite, le lieu se réduira à ces deux droites et à une courbe de l'ordre 

 n — i; et ainsi de suite. 



Si u — 3 systèmes de ces points, le premier de n — 1 , le deuxième de 

 n — 2, le troisième de n — 3, etc, le (n — 3)""" de trois points distincts 

 sont en ligne droite, le lieu se réduira à un système de n - - 2 droites. Or, 

 ces n — 2 droites, de même (pic les deux sécantes données, rencontrant les 

 n transversales en tous points situés sur la courbe, nous voyons que nous 

 aurons affaire, dans ce cas particulier très-remarquable, à un système de 

 deux polygones conjugués de n côtés inscrits à une courbe du n me ordre , 

 c'est-à-dire tels que chaque côté de l'un passe par l'un des points' d'intersec- 

 tion de chacun des côtés de l'autre avec la courbe. 



Ce cas est possible pour toutes les courbes jusqu'au cinquième ordre 

 inclusivement; au delà, il ne peut se réaliser que pour des courbes particu- 

 lières. 



En effet, il faut, dans ce cas, que l'équation puisse se mettre sous la 



forme 



V, ...<?„_, = *<?'„. ..<?;,, (-2), 



équation qui renferme in -f- 1 paramètres à déterminer. Or, celle de la courbe 

 en renferme n "~^° } ; il faut donc que 1 n -f- 1 soit au moins égal à n n * . , 

 condition qui n'est pas remplie au delà de n = S (*). 



Pour les courbes des cinq premiers ordres, qui sont toutes réductibles à 

 cette forme, ainsi que pour les courbes particulières d'ordres supérieurs qui 

 y sont réductibles, nous pourrons énoncer ce théorème : 



(*) Nous ferons voir dans Y Addition que, pour les courbes du quatrième et du cinquième 

 ordre, qui sont, avec celles du deuxième et du troisième, les seules auxquelles tous les théo- 

 rèmes de cette Première Partie soient applicables, il est toujours possible de mener deux 

 sécantes telles que leurs transversales déterminent des systèmes multiples de polygones con- 

 jugués. 



C'est à ces systèmes de polygones conjugués que s'appliquenl le corollaire III ainsi qnr le 

 théorème de Pascal qui en découle. 



Nous prouverons au reste directement ce théorème dans l'Addition , et nous ferons en outre 

 remarquer, dès à présent, que nous lui donnerons, dans cette même Addition, une généralité 

 telle qu'il s'applique à toutes les courbes algébriques (1870). 



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