10 FONDEMENTS DUNE GEOMETRIE 



1.2. ..(n — 1) manières différentes), ces n transversales couperont la 



courbe en n (n — 2) autres points dont le lieu sera de l'ordre n — 2. 



Comme nous venons de le dire , il est géométriquement visible que 



l'équation de I;i courbe peut se mettre de 1.2.3 (n — 1 ) manières diffé- 



renles sous la forme (1), puisqu'il existe le même nombre tic systèmes de v 

 transversales â' reliant deux à deux les points d'intersection des sécantes tf 

 et o { avec la courbe. 



La démonstration purement anal) tique de cette propriété est moins aisée. 

 On voit bien qu'en mettant l'équation (1) sous la forme 



(y -h «„.(' -*- l>„) (// -* (/,.»' + l>i) (ky"~* -+- hvc"-* + /,?-i(/"- r '.r + ...) 

 - [y ■+■ o. a x -+- p a ) [y + a,X -t- p,) ... {y -4 -/„_,.r 4- 5„_,) ==0, 



et en l'identifiant avec l'équation donnée, 



y" -+- A x" -t- A,y"~ l x + ... = 



multipliée par k- 1 , si l'on considère /»•, ky , /.>, ...a , ,3 U ... comme incon- 

 nues, les équations qui les détermineront seront des degrés respectifs 1 , 2, ... n ; 

 on pourra donc en conclure (pie l'équation finale résultante sera en général 

 du degré 1. 2 ... n, et que l'on aura par suite 1 . 2... n — 1 systèmes de 

 // transversales -}'; mais il faut bien reconnaître que sans la considération géo- 

 métrique qui précède, l'exactitude absolue de cette conclusion ne serait pas 

 tout à fait bors de doute, à cause de la difficulté de la détermination du degré 

 de l'équation finale résultant de ce système d'équations incomplètes. 



Remarque. Ce lieu des nouvelles intersections des transversales avec la 

 courbe, qui est de l'ordre // — 2, sera en général une courbe de cet ordre; 

 mais dans des cas particuliers il pourra se réduire à un ou plusieurs systèmes 

 de droites et d'une courbe d'ordre moins élevé, ou à plusieurs courbes moins 

 élevées, ce qui se reconnaîtra aux caractères suivants : 



Si, parmi ces n(n -- 2) points, il \ en a n- - 1 distincts qui sont en ligne 

 droite, le lieu se réduira à cette droite et à une courbe de l'ordre (il — 3). 



Si 2 // — 3 points distincts sont sur une conique, le lieu se réduira à cette 

 conique et à une courbe du (// i)'"' ordre, etc. 



