SUPÉRIEURE CARTESIENNE. 9 



Nous sommes ainsi amené à l'énoncé suivant, qui a été donné crime manière 

 plus générale par Gergonrie (*), sans qu'il indique toutefois la forme de 

 l'équation (1) : 



I. Théorème fondamental. Soient données une courbe du n me ordre et deux 

 sécantes qui la coupent chacune en u points : si l'on joint les points d'inter- 

 section de la première à ceux de la seconde par n transversales qui ne parlent 

 pas deux à deux d'un même point de la courbe (ce qui peut se faire de 



(*) Annules de mathématiques, t. XVII. Nous n'insistons pas sur la démonstration précédente, 

 parce que le lecteur ^pourra recourir, soit à celle de Gergonnc, soit à la suivante, que nous 

 devons à une obligeante communication de M. Ctebscli , et quj est beaucoup plus générale et plus 

 élégante que ces dernières. 



Soit /'= l'équation d'une courbe du n"" ordre; <s a et </, deux transversales de cette courbe. 



Supposons d'abord qu'elles ne passent pas par un point de/'; et soient cî" . . & n _, les sécantes 

 qui relient deux à deux leurs points d'intersection avec la courbe. 



La courbe 9 = f — fc?' ...'/„_,= a, avec chacune des droites 'j et S t ,n points communs; 

 mais on peut déterminer k de telle sorte que s = passe par le point (■;„. S, I : alors . a // t- I 

 points communs avec <J„ et J t ; donc elle les contient tout entières , et par suite 



. 



d'où 



[= dV,C„_î-4- krj'„,r, ... iïn-l- 



Supposons en second lieu que (<?„, <J,) soit sur f, en un point simple, et que ni 'À, ni S, ne soient 

 tangentes en ce point; alors l'une des sécantes <?'„.. . devra réunir les deux points de <?„ et de <?, 

 qui se sont confondus en ce point unique, sans quoi l'une d'entre elles coïneiderail avec <?„ ou <J t . 



Soit donc t?o la tangente à f, en ce point; nous aurons : 



dA\ _ dj_ dti\ _ dj_ 

 dx ' dx ' di/ dy 



Par suite, on pourra déterminer k de telle sorte qu'en ce point ? ail un point double; car, pour 

 celui-ci, l'on doit avoir 



d'où 



& étant ainsi déterminé, y a de nouveau n ■+- 1 points communs avec (?„et <?,; donc, etc. 



Le même procédé est applicable aux cas qui sont exclus de la démonstration précédente 

 (1870). 



