8 FONDEMENTS D'UNE GEOMETRIE 



CHAPITRE I. 

 COORDONNÉES RECTILIGNES PONCTUELLES. 



Art. I. — Théorèmes généraux. 



Lemme fondamental. Représentons par â n la distance d'un point x, y à une 

 droite a n x + b„y + c„ = ; toute courbe du" n™ ordre pourra se représenter 

 par l'équation : 



dans laquelle les paramètres de â a et de *, sont donnés, tandis (pie ceux de 



<y f—t, et ceux de C„_ â qui représente une fonction complète du 



f n — 2) nie degré en x et y, sont à déterminer ainsi (pie k. 



En effet , l'équation d'une courbe du n me ordre renferme - ( —^'- paramè- 

 tres, ce qui fournira un nombre égal d'équations; C„_ a renferme--^- — 

 paramètres à déterminer; le second membre de l'équation précédente en 

 renferme 2« + 1 ; et l'on a identiquement : 



n (n -t- 5) = (ii— -2) (h-*- I) _,_ 2n + d 

 2 2 



ce qu'il fallait démontrer. 



L'équation de la courbe étant vérifiée par chacune des équations â = 0, 

 £, = 0, C„ _. 2 = 0, combinée avec l'une quelconque des équations â' = 0, il 

 en résulte que chacune des lignes du premier système (qui sont deux droites 

 données et une courbe du (n — 2)" ,e ordre), coupe chacune des droites â' = 

 du second système en tous points situés sur la courbe. On peut donc dire 

 (pie les droites # sont des transversales qui unissent deux à deux les inter- 

 sections des sécantes données d u et ô, avec la courbe du n me ordre , et que ces 

 transversales vont recouper la courbe en d'autres points qui sonl tous situés 

 sur la ligne C„ . 2 (*). 



(*) Nous dirons souvent pour abréger la droite S ou la courbe C„, au lieu de la droite <J= 

 ou la courbe C„= 0. 



