SUPERIEURE CARTESIENNE. 55 



L'extension que nous avons donnée au théorème de Pascal pour les cinq 

 premiers ordres peut se fonder très-simplement sur cette considération que 

 l'équation C„ = de ces courbes peut toujours se mettre sons la forme : 



S { ... <?„+, — /c(?i ... C+i = aC» = , 



où A et les tfsont des fonctions linéaires. 



En effet, si l'on considère, d'une part, le nombre total des paramètres, ceux 

 de C„ excepté, d'autre part, le nombre d'équations à satisfaire, on trouvera, pour 

 le premier, in -f- 7, et pour le second, - 1^±1 ] : or ce dernier est toujours 

 égal ou inférieur au précédent pour n^ 5, c. q. /'. cl. 



Cette forme d'équation est évidemment l'expression analytique du théo- 

 rème de Pascal : car les côtés ô coupant les côtés # en des points tous situés 

 sur le lieu AC„ = , ceux de ces côtés qui ne se couperont pas sur C„ = 0, 

 c'est-à-dire les côtés opposés, se couperont sur la droite A = 0. 



Les polygones conjugués inscrits que nous venons de considérer étaient du 

 (n + l) me ordre : nous allons voir que les polygones conjugués d'un ordre 

 supérieur existent pour les courbes des quatres premiers ordres, et donnent 

 lieu au théorème suivant, dont quelques cas particuliers sont connus : 



Seconde extension du théorème de Pascal. Dans un système de deux 

 polygones conjugués du (n -f- p)'" e ordre inscrits à une courbe du n me ordre, 

 les côtés non adjacents se coupent sur un lieu du p me ordre. 



Nous entendons par côtés non adjacents ceux qui ne se rencontrent pas 

 sur la courbe. 



En effet, l'équation C„ = peut s'écrire, jusqu'au quatrième ordre in- 

 clusivement, en supposant p > 1 : 



s l ...s a+p -ia i ...â„ +p =:C H .c; l = o (*). 

 Car le nombre total des paramètres, ceux de C„ exceptés, est 



I) (il -4- 5) 



i („ + p) + | + '~ l -- 2 ; 



(*) Celte équation pourrait même prendre In forme plus particulière : 



<?! ... r?„ + ,, — k'j\ ... 'J'„+,, = C„l, ... A,, = 0, 



pour quelques, valeurs dep que le lecteur déterminera aisément. 



