58 FONDEMENTS D'UNE GÉOMÉTRIE 



On se convaincra que cette dernière forme est l'expression du théorème, 

 par un raisonnement identique à celui que nous avons fait pour le cas parti- 

 culier au commencement de ce second paragraphe. 



Voici enfin la généralisation complète du théorème : 



Seconde généralisation do théorème de Pascal. Si p transversales sont 

 communes à deux systèmes de figures conjuguées du n me ordre inscrites à 

 une courbe du même ordre , les points d'intersection de ces figures, qui 

 n'appartiennent pas à celte courbe, se trouveront sur un lieu de l'ordre 

 n — p — 2. 



Par hypothèse l'équation de la courbe peut s'écrire : 



S l S i C n _ i — I; S\ ... (J/^, + i ... ■>„ = C„ = 0. 



el 



*ACLi - év; - %+, ... f„ = c„ = o. 



. D'où, par multiplication, on obtient le lieu 



Nous n'insisterons pas davantage sur la démonstration, qui est analogue 

 aux précédentes, et nous ferons seulement observer que les transversales non 

 communes se coupent nécessairement sur le lieu d'ordre n — p — 2 ; car si 

 elles se coupaient sur la courbe donnée, elles auraient avec elle plus de // 

 points communs; et que, quant aux deux courbes d'ordre n — 2 qui font 

 partie des systèmes de figures conjuguées, comme elles ont (n — 2)/» points 

 communs entre elles et avec la courbe donnée, leurs points d'intersection 

 qui sont situés sur le lieu d'ordre n — p — 2 seront au nombre de 



( w -2)(»-p-2). 



Sans aucun doute, en partant de formes plus générales encore de l'équa- 

 tion des courbes algébriques, et en les combinant entre elles et les inter- 

 prétant comme nous venons de faire, on arriverait à des théorèmes d'une 

 plus grande généralité encore; de même, il existe d'autres expressions ana- 

 lytiques du théorème de Pascal relatives à des dispositions particulières des 

 systèmes de polygones conjugués. Mais en nous arrêtant à tous ces détails, 



