60 FONDEMENTS D'UNE GÉOMÉTRIE 



de deux //(/mes conjuguées du n me ordre , inscrites à une courbe de même 

 ordre, une droite quelconque coupe les deux figures conjuguées et la courbe 

 en 3n points en involutiou. 



Soit C„ = <W^_, — l<o\''» ••• 'l, = o 



l'équation d'une courbe du n'" e ordre rapportée à deux figures conjuguées. 

 Considérons une droite D qui coupe 



C„ aux points 0,,0 2 , ... 0„; 

 Su Si et C„_s aux points M ( ,M S et M 3 , M 4 ... M„; 



el 



S',, Si ... 3 u iiux points M',,Mi ... M' n . 



Par le point O,, dont nous désignerons les coordonnées par x, y, menons 

 à l'axe des y une parallèle qui coupe l'axe des x en P, et â n â., et C„__, en 

 N„N 2 etN 3 ...N B . 



Il est clair d'abord (pie â t , qui est une fonction y — ax — b, représente 

 0,N, : car 0,P = y; N,P = ax -f- b, puisque N, est sur la droite c?, ; donc 

 0,N, = y — ax — b = â t . 



De même 0,N 2 = $.,; 0,N{ = J|, etc. 



Ensuite, on voit que C„_ 2 représente le produit des segments 0,N 3 . 0,N 4 ... 

 0,N„ : car, en considérant l'abscisse x du point O, comme constante, et 

 désignant par y-... y„ les ordonnées des points d'intersection de la parallèle 

 menée par ce point à l'axe des y a\ec la courbe C„_ â , il est évident que 



C„_ 3 =(i/ — y z ) ■■■{;/ — y a ); 



et comme y= 0,P, y. = N,P . . . y n = N„P, la proposition est démontrée. 

 L'équation de la courbe C„ nous donne donc : 



O.N, . O.N, . O t N, ... O t N„ = fcO.Ni . O.N, ... 0,.\„. 



Mais dans les triangles O.N.M., 0,N 2 M 2J 0,N(Mî .... O.NiMJ, on a : 



sin (DJ 1 ,) 

 O.N.^O.M, , ' .etc.; 



sm(\4) 



