SUPÉRIEURE CARTESIENNE. 63 



Si, entre ces variables, il existe une relation de la forme 



m et n étant deux nombres entiers, positifs, et premiers entre eux, on pourra 

 éliminer ces variables entre les équations des deux droites, et Ton obtiendra 

 pour lieu de leurs intersections : 



Cette génération du lieu nous conduit donc au théorème suivant, si nous 

 nous l'appelons la signification des paramètres dans le cas où les axes pri- 

 mitifs sont rectangulaires : 



Théorème I. Étant donnés deux axes rectangulaires, et deux points fixes 

 autres que l'origine sur l'un de ces axes, si de ces deux points on mène respec- 

 tivement deux faisceaux de droites telles que le produit des puissances m nie et 

 n me des segments quelles interceptent sur le second axe soit constant, le lieu 

 des intersections de ces droites deux à deux sera généralement une courbe de 

 l'ordre m + n, qui passera par les pôles, les nombres m et n étant supposés 

 entiers, positifs et premiers entre eux. 



On obtient une conique, si m = n = 1 ; 



» une courbe du troisième ordre , si m = 2, »»= 1 ; 



» » du quatrième ordre, si »i = 3, n= 1, etc. 



Si, au lieu de se donner entre /' et /'' la relation 

 on supposait donnée la relation 



/'"' = f" c'% 



m et n étant encore entiers, positifs et premiers entre eux, l'élimination de / 

 et /'' entre les équations des deux droites conduirait à 



( r+ ^ r ='( r +/ ( '|3)".c l % 



ce qui permet d'énoncer le théorème : 



Théorème II. Étant donnés deux axes rectangulaires, et deux points fixes 

 autres que l'origine sur l'un de ces axes, si de ces deux points on mène res- 



