SUPÉRIEURE CARTESIENNE. 69 



d'où a,^£=±. *-2*=±- 



(3 -t- p r -+- 7 



De ces formules résulte immédiatement que, s'il existe entre fi i et ^, une 

 relation du n me degré, entre fi et y il en existera une qui sera généralement, 

 mais au plus, du degré %i, et qui pourra se réduire à un degré moindre dans 

 des cas particuliers • d'où le théorème suivant, qui est l'extension de celui de 

 Newton : 



Théorème IV. — Extension du théorème de Newton. Si deux angles rie 

 grandeur constante tournent autour rie leurs sommets rie manière que l'inter- 

 section rie deux de leurs côtés parcoure une courbe du n me ordre, les trois 

 autres points d'intersection des quatre côtés parcourront, chacun, une courbe 

 qui sera généralement, mais au plus, rie l'ordre 2n. 



Cas particulier. Si nous nous arrêtons un instant au théorème propre de 

 Newton, qui est relatif au cas où l'intersection des deux côtés parcourt une 



droite 



y, + kp t = /; 



nous verrons aisément que le terme en /3y de l'équation de la conique a pour 

 facteur q — kp — f, de sorte que si ce terme est nul, c'est-à-dire si les 

 angles A et R sont tels que les rayons vecteurs d'un point du lieu cherché se 

 coupent sur la droite donnée, ce lieu se réduira à une droite, comme l'a fait 

 remarquer Newton. 



Nouveaux cas particuliers. Mais l'analyse signale d'autres cas particu- 

 liers où le lieu se réduira à une droite et à l'axe des pôles ; ce sera quand le 

 terme constant de son équation, qui est kp + q, ainsi que le facteur de /3, 

 qui est [q — kpq -f- 1, ou celui de y, qui est fp + k — pq, viendront à dis- 

 paraître ensemble. 



Cet exemple fort simple montre combien l'analyse pénètre plus aisément 

 que les autres méthodes jusqu'au cœur de la question; les cas particuliers 

 suivants nous en donneront encore d'autres exemples. 



Supposons que la relation donnée entre /3 4 et y, soit 



pûi + m (h ■*- "?i = c j 

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