70 FONDEMENTS DUNE GÉOMÉTRIE 



ce qui est l'équation d'une conique passant par les pôles ; entre ,î et y nous 



etc. = C ; 



aurons : 



Ipp — \\ (yq — i 



p 



d'où l'énoncé suivant, donné par Chasles (*), Steiner (**) et Brasseur (***) : 

 Théorème V. Si deux angles de grandeur constante tournent autour de 

 leurs sommets de manière que le point d'intersection de deux de leurs cotés 

 parcoure une section conique passant par leurs sommets, les trois autres 

 points d'intersection des cotés de ces angles décriront chacun en particulier, 

 une section conique passant aussi par les deux sommets. 



Notre démonstration semble au premier abord n'être relative qu'au point 

 d'intersection des seconds côtés des deux angles; on l'étend aisément aux 

 deux autres points en faisant A ou B égal à zéro, d'où/> ou q = co . 



Cas particuliers. Ici encore l'analyse signale un cas particulier remar- 

 quable, celui dans lequel la constante C est égale à pq; alors le lieu des inter- 

 sections des seconds côtés des angles est une droite. Le lieu des deux autres 

 points d'intersection sera aussi une droite, pour le premier de ces points dé- 

 terminé par 



A j= , si C = 7 ; 



pour le second déterminé par 



B = 0, si C ==;*. 



Ces cas particuliers constituent la réciproque du théorème de Newton. 

 Supposons maintenant que les angles ?1 et ^ forment une somme ou une 

 différence constante; nous pourrons donc poser 



col [f ± i) = C 



ou 



[3 r=F l =C(p±r), 



ce qui est l'équation d'une conique. Donc : 



Théorème VI. Si deux angles de grandeur constante tournent autour de 



(') Aperçu historique, p. 557. 



(**) Systematische Entwiekelung geometrischer Gestalten, p. 299, art. 16. 

 (***) Sur une nouvelle méthode d'application de la géométrie descriptive à la recherche des 

 propriétés de l'étendue, art. 230; Mémoires de l'Académie royale de Belgique, t. XXIX. 



