SUPERIEURE CARTESIENNE. 71 



leurs sommets de manière que deux de leurs côtés fassent avec la droite qui 

 unit leurs sommets des angles dont la somme ou la différence est constante, 

 les trois autres points d'intersection des côtés de ces angles décriront, chacun 

 en particulier, une section conique. 



La démonstration qui précède n'est relative qu'au point d'intersection des 

 seconds côtés des deux angles; on l'étendra ;tux deux autres points, comme 

 on l'a fait dans le théorème V, en partant de 



COt (y, ± f,) = — — = L , 



Pi ± 71 



et en substituant à /3, et y, leurs valeurs 



Sp — \ , yq — \ 



8, = cot(-- -+- A)=- ; r, = cot (■- ■+- B) = — > 



p -+- p r + <i 



et faisant enfin p ou q = ce . 



Ce théorème a été donné sous une autre forme par M. Chasles (*) pour le 

 premier cas, celui d'une somme constante; pour le cas d'une somme ou 

 d'une différence constante par Steiner (**); l'analyse étend intuitivement le 

 théorème, dans toute sa généralité, aux deux cas; elle signale aussi immé- 

 diatement les cas particuliers qui peuvent se présenter, et qui sont trop 

 simples pour que nous nous y arrêtions. Enfin elle permet de donner à tout 

 théorème une forme tellement générale qu'aucune autre méthode, nous 

 semhle-t-il, ne pourrait y atteindre. 



Ainsi le théorème V est susceptible de la généralisation suivante : 



Théorème VII. — Extension du théorème V. Si deux angles de gran- 

 deur constante tournent autour de leurs sommets de manière que le point 

 d'intersection de deux de leurs côtés parcoure une courbe du n me ordre pas- 

 sant par leurs sommets, les trois autres points d'intersection des côtés de 

 ces angles décriront, chacun en particulier, une courbe du même ordre 

 passant aussi par les deux sommets. 



En effet, en prenant pour pôles les deux sommets fixes, nous aurons pour 



(') Traité des sections coniques, art. 91 

 (**) Lien cité, p. 300, art. 18. 



