72 FONDEMENTS D'UNE GEOMETRIE 



nue courbe du n'" e ordre passant par les pôles, une équation que nous pour- 

 rons mettre sous la forme : 



Za'(3fr t B '=C, 



où le signe sommatoire s'étend à un nombre quelconque de termes de même 

 l'orme dans lesquels la somme des exposants ne dépasse pas n ; et il est clair 



qu'en remplaçant 



6» — 1 y a — I 



S, par > v, par j 



' ' p-v-p y-h q 



la nouvelle équation sera au plus du n'" e degré. 



Le théorème (VI) peut de même se généraliser de la manière suivante : 

 Théorème VIII. -- Extension du théorème VI. Si deux angles de gran- 

 deur eonslante tournent autour de leurs sommets de manière que deux de 

 leurs côtés fassent avec la droite qui unit leurs sommets des angles y, et tp i 

 dont les multiples niy, et n^, forment une somme algébrique constante, les 

 trois autres points d'intersection de ces angles décriront , chacun en par- 

 ticulier, une courbe qui sera généralement , mais au plus, du (m -j- n) me 

 ordre, m et n étant entiers, positifs et premiers entre eux. 

 En effet, puisqu'on a par hypothèse 



my ± ;»; = C, 



Ton en tirera 



a cot ni =p I 



eot ni. ■■ 



cot m 



pour l'équation du lieu cherché, a désignant la cotangente de l'angle 

 C'=C — m\ =f nB. Or si Ton développe cot m? et cot n<p suivant les puis- 

 sances de cot y et cot<f, il est clair que l'équation sera du degré m -f- n, 

 C. q. f. d. 



Cas particulier. On voit aisément qu'elle s'abaissera au m me degré (m étant 

 supposé plus grand que n) si a = c© c'est-à-dire si 



m S. ± mB = C = m-j, ± ni, , 



ou si la somme algébrique des multiples de ?, et (//, est égale à celle des 

 mêmes multiples des angles constants A et B. 



