SUPERIEURE CARTESIENNE. 73 



Nous proposerons encore au lecteur de démontrer et d'étendre le théorème 

 suivant qui est une autre forme plus générale du théorème de Newton. 



Théorème IX. Si deux angles d'un triangle tournent autour de leurs som- 

 mets de manière que deux de leurs côtés se coupent sur une droite passant 

 par le troisième sommet, les droites qui unissent deux à deux les points d'in- 

 tersection des côtes de ces angles avec les côtés opposés du triangle se cou- 

 peront sur une conique. 



Ainsi soient un triangle ARC et les deux angles »i,Aw â = A; /h,R>m 3 = R fi'g-x. 

 tournant autour de A et R de manière que Ain, et Bn t se coupent sur la droite 

 fixe Cp; si Ton unit les points m i} n { et m. 2 , n. 2 , ou m l} n., et m s , n l} par des 

 droites, les points d'intersection des deux premières et des deux secondes 

 décriront chacun une conique. 



Enfin, si Ton veut étendre le théorème général déduit par 31. Chasles (*) 

 de sa propriété anharmonique des points d'une conique, le système des coor- 

 données bipolaires conduira aisément à l'énoncé suivant : 



Théorème X. Étant donnés dans un plan deux transversales et deux 

 points fixes quelconques sur chacune d'elles; si autour de deux pôles fixes 

 on fait tourner deux droites qui déterminent sur les deux transversales res- 

 pectivement deux segments s, et t,, s 2 et t., tels que 



1 et n étant deux constantes, m et n deux nombres entiers et positifs; le 

 point de concours des deux droites mobiles engendrera une courbe de l'ordre 

 (m -j- n) qui passera par les deux pôles. 



Nous n'avons pas fait usage, dans ce système de coordonnées, de la 

 méthode générale que nous avons employée dans celui des coordonnées 

 rectilignes, parce qu'elle ne nous aurait pas conduit à des théorèmes essen- 

 tiellement différents de ceux que nous avons démontrés. Ua forme seule de 

 l'expression analytique eût changé, et surtout celle de l'involution de 3« 

 points, qui apparaîtrait, dans ce nouveau système de coordonnées, comme 

 une relation angulaire, au lieu d'être une relation de segments. Peut-être cette 



(*) Aperçu historique , p. 330. 



