74 FONDEMENTS D'UNE GÉOMÉTRIE 



autre manière de l'exprimer conduirait-elle à d'autres conséquences; mais 

 en nous livrant à celle recherche, nous nous écarterions du but de ce travail 

 qui est, non pas la recherche de propriétés nouvelles, mais l'édification d'une 

 méthode destinée à faire découvrir ces propriétés. 



La même raison nous engage à supprimer complètement les énoncés et 

 les démonstrations des théorèmes corrélatifs de ceux auxquels nous a con- 

 duit remploi des coordonnées bipolaires. On a vu, au chapitre des coor- 

 données tangentielles, la méthode générale qui permet dépasser d'un lieu 

 géométrique du n me ordre, défini par un système de points, à un lieu de la 

 //"" classe , défini par un système de tangentes. 



Celte méthode appliquée au système de coordonnées bipolaires conduirait 

 immédiatement aux théorèmes corrélatifs des précédents. 



Avant de terminer l'application de notre méthode à l'étude des courbes 

 planes, nous en indiquerons encore une fois les caractères généraux, qui 

 pourront être saisis plus aisément après les divers exemples que nous en 

 avons donnés. 



Une ligne courbe peut être considérée, soit comme le 'lieu géométrique 

 (l'un système de points, soit comme l'enveloppe d'un système de tangentes. 

 Occupons-nous d'abord de la première génération. 

 Pour qu'un point engendre une ligne, il faut qu'il varie de position sui- 

 vant une loi déterminée, et par suite que les éléments qui déterminent la 

 position de ce point soient variables, et qu'il existe entre eux une relation 

 telle qu'en donnant à l'un d'entre eux une valeur arbitraire, les autres soient 

 complètement déterminés. 



De ce principe résulte la classification des différents modes de génération 

 d'une courbe au moyen d'un point mobile. Ce point peut en effet : 

 1° Être déterminé de position par différents éléments; 

 2° Varier de position en vertu de différentes lois ou relations entre ces 

 éléments. 



La combinaison de tous ces modes constitutifs de génération entre eux 

 conduirait évidemment à toutes les courbes possibles; et l'étude de chaque 

 système de courbes sera le plus simple quand on aura trouvé l'expression 

 la plus simple des deux modes constitutifs de sa génération. 



