SUPERIEURE CARTESIENNE. 7S 



Il osi clair que chacun des modes de détermination d'un point pourrait 

 se réduire à l'un quelconque d'entre eux; mais si l'on faisait cette réduction, 

 la loi simple qui existait entre les éléments du premier mode affecterait une 

 forme généralement plus compliquée, parce qu'on devrait l'exprimer au moyen 

 des éléments du dernier; c'est ainsi que la loi simple qui relie les coordon- 

 nées polaires d'un point d'une spirale deviendrait fort compliquée si Ton 

 exprimait ces coordonnées en fonction de coordonnées rectilignes par exemple. 

 C'est pour celte raison que, loin de vouloir réduire à un seul les modes de 

 détermination du point, l'on doit, au contraire, étudier la génération des 

 courbes dans chacun de ces modes; et si la géométrie analytique a paru, à 

 quelques esprits distingués, moins riche que la géométrie synthétique, c'est 

 qu'ils ont cru, à tort, qu'elle était plus bornée de sa nature dans les modes 

 de détermination du point (*). 



Nous devons donc,' pour établir dans un svslème ordonné la génération 

 des courbes planes, commencer par rechercher quels sont tons les modes 

 possibles de détermination du point dans le plan. 



Or un point n'est déterminé de position qije par rapport à d'autres points 



(*) Les lignes qui suivent, extraites du mémoire de Brasseur, tout en confirmant notre opi- 

 nion, témoignent de la profondeur de vues de ee géomètre éminent que nous sommes heureux 

 d'avoir eu pour maître, et dont nous signalons avec admiration et reconnaissance les travaux à 

 l'attention des amis de la géométrie. 



« Les systèmes de lignes mentionnés dans les théorèmes précédents, font en géométrie sj n- 

 thétique, le même office que les systèmes de coordonnées rectilignes en géométrie analytique; 

 et l'on voit que la géométrie synthétique est beaucoup plus riche en systèmes de coordonnées 

 que ne l'est la géométrie analytique. 



» En outre, la géométrie synthétique sait tirer un plus grand parti d'un même système de 

 lignes considérées comme ordonnées. C'est ainsi qu'en n'ayant recours qu'à des systèmes de 

 lignes droites, pour définir par des relations descriptives les courbes du second degré, on pourra 

 le faire : 1° par l'intersection de deux systèmes de droites respectivement parallèles à deux 

 droites fixes; 2" par l'intersection de deux systèmes de droites qui concourent respectivement 

 en deux points fixes; 5° par l'intersection d'un système de droites parallèles avec un système 

 de droites qui concourent en un même point; 4" par un seul système de droites tangentes à 

 une même courbe du second degré. A cela nous ajouterons que parmi les divers systèmes de 

 lignes qui, par leurs intersections, produisent un même lieu géométrique, on pourra remarquer 

 que plus le degré de ces lignes (ordonnées) est élevé, et plus est simple l'énoncé des conditions 

 auxquelles doivent satisfaire ces deux systèmes de lignes pour produire ee lieu géométrique. » 

 Brasseur, 1. cit., art. 58. 



