SUPÉRIEURE CARTESIENNE. 77 



soient les éléments de détermination qu'on emploie; quant aux secondes, il 

 importe, pour qu'on puisse les découvrir aisément, que l'expression analy- 

 tique de ces éléments renferme déjà eu elle-même une relation métrique. 

 C'est ainsi que, dans le système des coordonnées rectilignes, où les deux 

 éléments sont des droites, on arrive aisément aux théorèmes de Pappus et 

 de Desargues, à cause des relations métriques qu'il est aisé de découvrir dans 

 l'équation même de la droite. 



Si l'on réalisait ce programme, on voit que l'on arriverait à une classifi- 

 cation systématique de toutes les courbes engendrées par le mouvement d'un 

 point; mais ce programme est nécessairement illimité, et la géométrie supé- 

 rieure ne peut donc pas avoir pour objet de le réaliser, mais d'indiquer les 

 méthodes au moyen desquelles on peut arriver aux propriétés de quelque 

 courbe donnée que ce soit. 



C'est aussi là l'objet que nous avons eu en vue en traitant les exemples 

 qui précèdent, et la méthode à suivre dans l'étude de la courbe donnée, 

 géométriquement peut se résumer dans celte règle : 



On commence par chercher, dans la définition même de la courbe, quels 

 sont les éléments qui déterminent de la manière la plus simple la position 

 d'un de ses points, et qui ont en même temps entre eux la relation la plus 

 simple en vertu de la définition donnée; on recherchera quelles sont les 

 relations métriques qui sont implicitement contenues dans l'expression ana- 

 lytique de ces éléments; et l'étude de l'équation de la courbe au moyen des 

 équations de ces éléments et des propriétés descriptives et métriques de 

 ceux-ci, conduira aux propriétés descriptives et métriques de la courbe. 



Il nous resterait à développer également la génération d'une courbe con- 

 sidérée comme l'enveloppe d'une droite mobile; mais, comme nous l'avons 

 déjà fait observer, et comme il ressort du reste à l'évidence du principe de 

 dualité, à chaque système d'éléments qui déterminent la position d'un point, 

 correspond un système d'éléments tangentiels; et par suite à toute propriété, 

 soit descriptive, soit métrique, d'une courbe engendrée par le mouvement 

 d'un point, répond une propriété corrélative d'une courbe engendrée par le 

 mouvement d'une droite. 



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