SUPÉRIEURE CARTÉSIENNE. 99 



le nombre de termes de l'équation générale du troisième degré à dois variables 

 es i ±JLâ = 20 5 nous aurons dix-neuf équations pour déterminer nos dix-neuf 

 inconnues. 



On voit immédiatement que les droites d'intersection de chacune des faces 

 A, B, C avec chacune des faces A', B', C appartiennent à la surface; ce qui 

 nous donne neuf génératrices situées trois à trois dans chacun des six plans, 

 chacune d'entre elles se trouvant à la fois dans deux de ces plans. Ces neuf 

 génératrices, ne déterminant que dix-huit paramètres, ne suffisent pas pour 

 déterminer la surface; il faut y joindre un point de celle-ci. 



On aura autant de systèmes de neuf génératrices qu'il y a de systèmes de 

 solutions pour les dix-neuf équations dont nous venons de parler; mais il est 

 inutile que nous abordions le problème ardu de la recherche de ce nombre; 

 la discussion géométrique nous y conduira plus simplement. 



Les deux systèmes de plans A, B, C et A', B', C forment deux trièdres 

 tels que chaque face de l'un, A par exemple, passe par trois génératrices 

 respectivement situées dans les trois faces de l'autre, et qui sont, pour A, les 

 intersections A, A'; A, B'; A, C'. Ces deux trièdres forment, pour cette raison, 

 un système de deux trièdres conjugués inscrits. 



Cherchons à déterminer combien il existe de ces systèmes de trièdres 

 conjugués. 



Le théorème fondamental sur lequel s'appuie cette détermination est le 



suivant : 



Un hyperboloïde, qui a trois génératrices du même mode communes uvec 

 une surface du troisième ordre, en a trois de l'outre mode également com- 

 munes (Steiner). 



Considérons en effet l'hyperboloïde défini par les trois génératrices 



A, A'; B,B'; C,C; 



et soient 



A = «A'; B = (3B ; C = yC, 



les trois équations simultanées d'une même droite s'appuyant sur ces trois 

 génératrices, d'où il résulte que l'une de ces équations est une conséquence 

 nécessaire des deux autres. De plus, il est clair que /3 et y seront des fonc- 



