100 FONDEMENTS DUNE GEOMETRIE 



lions linéaires de a, puisque dans le plan A = «A' il n'existe qu'une droite 

 qui s'appuie à la l'ois sur les trois génératrices. 



En combinant les trois équations précédentes avec celle de la surface (1), 

 nous obtenons : 



équation qui sera du troisième degré en a, et qui aura ses trois racines réelles 

 en vertu de sa forme et des expressions linéaires de /3 et y en «. 



Il existe donc trois droites qui sont à la fois des génératrices du second 

 mode de l'hyperboloïde, et des génératrices de la surface du troisième ordre. 



Les neuf génératrices primitives forment six systèmes de trois généra- 

 trices non situées deux à deux dans un même plan : 



(A,A';B,B';C,C); (A, A'; B, C; B', C); etc. 



Chacun des hyperboloïdes déterminés par l'un de ces systèmes de trois 

 génératrices coupe la surface du troisième ordre suivant trois génératrices, 

 dont aucune ne peut coïncider avec rime des neuf génératrices primitives; 

 ainsi l'hyperboloïde (A, A'; B, B'; C, C') ne peut couper la surface suivant 

 A, B' : car cette droite rencontrerait alors C, C. 



En outre les trois nouvelles génératrices, suivant lesquelles l'hyperboloïde 

 (A, A'; B, B'; C, C) coupe la surface, diffèrent de celles suivant lesquelles 

 elle est coupée par (A, A'; B, C; B', C) : sinon les deux hyperboloïdes 

 auraient, outre A, A', une génératrice commune; mais de plus ils ont en 

 commun les points d'intersection de B, B' et B, C, de B, B' et B', C; de (), C 

 et B', C; de C, C et B, C; donc ils coïncideraient. 



On mhI par là (pie la génératrice A, A' coupe dix droites de la surface : les 

 six droites qui sont les nouvelles intersections des deux hyperboloïdes, et 

 A, B'; A', B; A, C ; A', C. 



Parmi ces dix droites il ne peut pas s'en trouver plus de cinq non situées 

 deux à deux dans un même plan. 



En effet si une droite D pouvait rencontrer les six droites a, b, c, d, e, /', 

 non situées deux à deux dans un même plan, les hyperboloïdes a, b, < et 

 a, b, <l, qui auraient trois génératrices communes a, b, D, en auraient une qua- 



