SUPERIEURE CARTESIENNE. 101 



trième g, qui couperait a, b, c, d el appartiendrait par suite à In surface du 

 troisième ordre. 



De même les hyperboloïdes a, b, c et a, b, e\ a, b, c et a, b, /'auraient nue 

 génératrice commune g' pour les premiers, g' 1 pour les seconds; et ces 

 génératrices appartiendraient également à la surface du troisième ordre. 



Il s'ensuivrait que l'hyperboloïde a, b, c a en commun avec cette surface les 

 sept droites D, a, b, c, g, g', g", ce qui serait absurde. 



Il reste à faire voir qu'aucune des droites d'intersection de l'un des six 

 hyperboloïdes avec la surface du troisième ordre ne peut coïncider avec l'une 

 des droites d'intersection d'un autre hyperboloïde. On verrait eu effet aisé- 

 ment que si deux de ces intersections pouvaient se confondre en une seule, 

 ou bien celle-ci couperait six droites de la surface non situées deux à deux 

 dans un même plan, ou bien elle serait à la fois située dans quatre faces de 

 deux trièdres conjugués. 



Chacun des six hyperboloïdes coupant la surface suivant trois génératrices 

 différentes des neuf primitives, et distinctes entre elles; nous aurons donc 

 en tout vingt-sept droites appartenant à cette surface (*). 



Comme chacune des neuf génératrices primitives rencontre dix de ces 

 droites, dont quatre primitives, et six autres, et que ces dix droites se par- 

 tagent en cinq groupes de deux droites qui se coupent, elle formera avec 

 celles-ci cinq triangles tritangeuts; nous aurons donc en tout quarante-cinq 

 de ces triangles (Steiner). 



Nous pouvons partager les vingt-sept droites en neuf triangles qui n'ont 

 deux à deux aucune droite commune. Considérons un côté de l'un de ces 

 triangles : il devra couper l'un des côtés de chacun des huit autres triangles : 

 sans quoi il ne couperait pas dix droites. 



De là résulte que, quand deux triangles (ritangents n'ont aucune droite 



(*) L'existence îles vingt-sept droites pourrait encore s'établir très-simplement de la manière 

 suivante : considérons un hyperboloïde IL— AB — aA'B' = 0. Comme son intersection avec S 3 

 est du sixième ordre, et qu'il a quatre droites communes avec cette surface, il aura en outre 

 une conique commune; mais on pourra déterminer a de telle sorte que cette conique se réduise 

 à deux droites; on peut donc faire passer, par quatre génératrices formant un quadrilatère 

 gauche, un livperholoïde dont l'intersection avec S 3 détermine deux génératrices nouvelles; et 

 comme il existe neuf de ces quadrilatères, nous aurons dix-huit nouvelles génératrices. 



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