108 FONDEMENTS D'UNE GEOMETRIE 



miner leurs vingt-sept droites, et conduire à des modes de détermination 

 de ces surfaces plus généraux que celui qui a servi de base aux recherches 

 du grand géomètre allemand. 



Mais ces formes ne sont pas aussi propres à manifester l'existence des 

 célèbres propriétés qui constituent l'essence de la géométrie supérieure; on 

 pourrait certainement en déduire une discussion analytique des surfaces du 

 troisième ordre, ainsi que certaines propriétés géométriques ou métriques; 

 ces propriétés toutefois n'offriraient pas, tant s'en faut, le même intérêt que 

 celles dont nous venons de parler; et ce serait manquer le but indiqué par 

 le titre même de notre travail, que de nous étendre trop longuement sur la 

 discussion de ces nouvelles formes. 



Nous nous bornerons donc à les indiquer sommairement en montrant de 

 quel usage elles peuvent être dans l'étude analytique des surfaces du troi- 

 sième ordre. 



L'équation générale de ces surfaces peut se mettre sous la forme : 



PoPtfi = *Qo (QiQ 8 -+- Po?«). 



où Ions les paramètres, ceux de P exceptés, sont à déterminer. 



dette forme montre que P„ est un plan tritangent, qui coupe les surfaces 

 suivant les trois génératrices P^, P Q,, P Q 2 ; et que Q est ('gaiement un 

 plan tritangent qui a une génératrice commune avec le précédent et qui 

 passe en outre par les deux génératrices Q (! /> et Q (! />,. 



De plus, il est clair que tout plan qui passe par l'une de ces génératrices 

 coupera en général la surface suivant une conique. Ainsi leplanP = «Q„ qui 

 liasse par la génératrice P Q coupe S 3 suivant une conique située sur la 

 surface du second degré : 



Il en serait de même des plans qui passent par les autres génératrices. 



dette conique pourra, dans des cas particuliers, se réduire à un système de 

 deux droites, et l'on sera ramené alors aux vingt-sept droites de la surface. 



Il est évident du reste que l'on pourrait mettre l'équation sous une forme 

 analogue à la précédente, en prenant Q, ou Q._, au lieu de Q comme facteur 



