SUPÉRIEURE CARTESIENNE. 109 



commun dans le second membre; chacune de ces deux formes conduirait à 

 deux génératrices nouvelles, et Ton aurait déjà, par là même, neuf de ces 

 droites principales. 



Enfin cette forme un peu généralisée permet d'arriver à une détermi- 

 nation des surfaces du troisième ordre plus générale que celle que nous avons 

 vue précédemment. 



Car si l'on écrit l'équation générale S 3 = 0, sous la forme suivante, dans 

 laquelle les paramètres de P ( ', sont supposés connus, de même que ceux de P , 



Po/w. = A(QoQ.Q.+ P<W, 



on verra que les plans Q„, Q, et Q. 2 coupent chacun la surface suivant une 

 conique située sur la surface du second degré 



et il en résultera que : 



Théorème. Étant donnés un plan et une surface du second degré, coupés 

 par trois plans quelconques, le premier suivant trois droites, la seconde sui- 

 vant trois coniques, ces six lignes appartiennent aune surface du troisième 

 ordre, qui sera entièrement déterminée si l'on donne en outre un de ses points. 



Ces dernières formes d'équation pourraient se traduire en relations mé- 

 triques auxquelles nous ne nous arrêterons pas. 



Une autre forme plus générale qui conduit immédiatement au même théo- 

 rème, ainsi qu'aux vingt-sept droites, est la suivante, dans laquelle les para- 

 mètres de P sont supposés connus, et où S 2 représente un polynôme complet 

 du second degré à trois variables : 



P„S S = AQ„Q 1 Q Î ; (2) 



on peut même dire que cette forme est la véritable expression du théorème 

 précédent. 



Pour en déduire les vingt-sept droites, on devrait la ramener à la forme 

 précédente, ce qui est très-aisé, puisque, comme on l'a vu dans la théorie 

 des surfaces du second degré, on peut écrire : 



S s = PoPi— k'p'ojh, 



p' étant un polynôme linéaire donné. 



Tome XXXIX. lo 



