112 FONDEMENTS D'UNE GEOMETRIE 



SURFACES DE LA TROISIÈME CLASSE. 



CHAPITRE IV. 

 COORDONNÉES RECTILIGNES TANGENTIELLES. 



De même que les théorèmes de Pappus, de Desargues et de Pascal ont 

 leurs corrélatifs pour les surfaces du second degré, de même ces théorèmes 

 étendus aux surfaces du troisième ordre, doivent avoir également leurs cor- 

 rélatifs. Ici toutefois les théorèmes corrélatifs ne s'appliqueront plus en 

 général à ces mêmes surfaces, mais à celles de la troisième classe, parce 

 qu'au delà du second degré Tordre et la classe ne sont plus identiques. 



Le principe de dualité (*) aurait dû conduire immédiatement les géomètres 

 qui se sont occupés des surfaces du troisième ordre , aux propriétés corréla- 

 tives de celles qu'ils avaient démontrées. Aussi avons-nous été étonné de ne 

 trouver aucune mention de ces propriétés, même dans le mémoire de Steiner, 

 l'un des géomètres modernes qui ont cependant considéré de plus haut et 

 appliqué le plus fréquemment ce principe. Ceci nous semble prouver que 

 cette application n'est pas toujours bien simple, et qu'en général on a besoin, 

 pour l'entreprendre avec assurance, d'un fil conducteur qui mette d'abord 

 sur la voie. 



Pour nous, ce fil est l'analyse. Elle nous montrera, dans la forme même 

 de l'équation des surfaces de la troisième classe, le germe des théorèmes 

 corrélatifs des précédents. Après avoir établi la propriété fondamentale de 

 ces surfaces, nous montrerons que le principe de dualité permet en effet d'y 

 arriver, et nous ferons même usage de ce principe pour la déduction de 

 quelques corollaires, auxquels l'analyse conduirait du reste sans difficulté. 



(*) Une démonstration analytique Irès-élégantc et de nombreuses applications de ce principe 

 ont été données par M. Chasles dans son Aperçu historique, pp. 575 et suivantes. 



