SUPÉRIEURE CARTESIENNE. 1 13 



En désignant, comme nous l'avons fait dans l'application des coordonnées 

 tangentielles aux surfaces du second degré, par $ ...& s > es distances d'un 

 plan mobile LX + MY + NZ-f P = à six points fixes O , .... o ; et en consi- 

 dérant les trois équations simultanées 



nous voyons qu'elles représentent un plan passant par les points Q, Q', Q" 

 qui partagent les droites O, 1 ; 2,3; 4,5 dans les rapports 



1 i i 



Si ces trois variables sont assujéties à la relation 



l'équation de la surface enveloppe du plan mobile, en coordonnées tangen- 

 tielles, sera 



équation qui est du troisième degré en X, Y, Z, et représente par consé- 

 quent une surface de la troisième classe que nous appellerons SJ. 



Il est clair que toutes les surfaces de la troisième classe pourront se repré- 

 senter par une équation de cette forme; car leur équation générale en coor- 

 données tangentielles, étant du troisième degré en X, Y, Z, fournira dix-neuf 

 relations nécessaires et suffisantes pour la détermination des dix-neuf para- 

 mètres de l'équation (1'). 



En outre, on voit qu'il y a précisément autant de systèmes de solutions 

 qui permettent de donner à l'équation de la surface la forme (!'), qu'il y en 

 avait de possibles dans la mise de l'équation des surfaces du troisième ordre 

 sous la forme (1). Et cette remarque seule prouve déjà que, quand nous 

 aurons déterminé, au moyen de l'équation (!'), un élément (point, droite 

 ou plan) corrélatif d'un élément (plan, droite ou point) déterminé par l'équa- 

 tion (1), il existera autant de ces premiers éléments qu'il en existe de ceux-ci. 



Cherchons donc la signification géométrique de l'équation (!'). 



