SUPERIEURE CARTESIENNE. lia 



Or les surfaces du troisième ordre nous donnaient vingt-sept droites for- 

 mant quarante-cinq triangles tritangenls, dont chacun représente une face 

 de l'un des trièdres. 



Celles de la troisième classe nous donneront de même vingt-sept droites 

 formant, par leurs points de concours trois à trois, quarante-cinq sommets 

 répondant aux quarante-cinq triangles tritangents. 



Au reste, l'existence de ces vingt-sept droites est facile à établir analyti- 

 quement; il suffît, pour cela, de considérer l'équation 



qui représente en coordonnées tangentielles un hyperboloïde ayant un qua- 

 drilatère gauche commun avec SJj comme l'intersection de ces deux surfaces 

 est de la sixième classe, et qu'elles ont déjà un quadrilatère commun, elles 

 auront en outre une conique commune; mais on pourra déterminer a de telle 

 manière que cette conique se réduise à un système de deux droites qui se 

 coupent; de sorte que l'hyperboloïde coupe Si suivant deux nouvelles géné- 

 ratrices. Et comme on peut déterminer neuf de ces quadrilatères gauches, on 

 aura dix-huit génératrices nouvelles. 



Nous ne nous arrêterons pas davantage aux propriétés qu'offrent ces 

 vingt-sept droites principales; elles nous entraîneraient beaucoup trop loin; 

 comme nous l'avons fait pour les surfaces du troisième ordre, nous voulons 

 nous borner, pour celles de la troisième classe, aux propriétés indispensables 

 à l'établissement de nos théorèmes fondamentaux. Au reste, la dualité entre 

 ces deux genres de figures étant maintenant établie par la coexistence des 

 éléments corrélatifs que nous venons de découvrir, on n'aura plus aucune 

 peine à étendre, au moyen du principe de dualité, aux surfaces de la troi- 

 sième classe, les propriétés qui ont été démontrées, dans les travaux cités 

 plus haut, pour les surfaces du troisième ordre. Ce principe aurait même pu 

 conduire à la découverte des vingt-sept droites des surfaces de la troisième 

 classe : car ces surfaces sont les corrélatives de celles du troisième ordre; or, à 

 des droites situées dans un même plan répondent, dans la figure corrélative, 

 des droites concourantes; donc aux quarante-cinq triangles de Steiner ré- 

 pondent quarante-cinq sommets de trois droites concourantes. 



