SUPERIEURE CARTESIENNE. 89 



» d'un théorème qui nous parait la résoudre, car il exprime une propriété 

 » générale d'un tétraèdre et d'une surface du second degré, analogue à 

 » la propriété d'un triangle et d'une conique qu'exprime le théorème de 

 » Pascal » (*). 



Envisagée sous ce point de vue, la propriété énoncée par M. Chasles pré- 

 sente certainement de l'analogie avec celle de Pascal; mais à un point de 

 vue absolu, on ne peut pas affirmer qu'elle en soit l'analogue, puisqu'elle ne 

 semble pas renfermer celle de Pascal comme cas particulier. 



La propriété que nous avons énoncée, au contraire, présente indubitable- 

 ment ce caractère; et quoique nous nous fussions attendu, nous l'avouons, à 

 ce que le théorème analogue à celui de Pascal dans les surfaces du second 

 degré nous conduisît à une propriété nouvelle de ces surfaces, et non pas 

 simplement à une propriété qui résulte immédiatement de leur double généra- 

 tion, il a bien fallu nous rendre à l'évidence, et reconnaître que cette simple 

 propriété constitue bien le théorème analogue à celui de Pascal. En effet, 



1° Elle a ce dernier comme corollaire immédiat, lorsqu'on coupe par un 

 plan les six côtés de l'hexagone gauche (**); 



(') Voici, du reste, l'énoncé de cette propriété : 



Quand les six arêtes d'un tétraèdre, placé d'une manière quelconque dans l'espace, ren- 

 contrent une surface du second degré en douze points, ces douze points sont trois à trois sur 

 quatre plans dont chacun contient trois points appartenant aux trois arêtes issues d'un même 

 sommet du tétraèdre; 



Ces quatre plans rencontrent respectivement les faces opposées à ces sommets, suivant quatre 

 droites qui sont les génératrices d'un même mode de génération d'un hyperboloïde à une nappe. 

 (Aperçu historique, p. 400.) 



(**) De toutes les démonstrations qu'on a imaginées du théorème de Pascal, peut-être n'en 

 est-il pas de plus élémentaire que celle qui se lire de cette propriété, en ce sens qu'elle n'exige 

 que la connaissance de la double génération de l'hyperboloïde à une nappe. C'est pourquoi 

 nous nous permettons de donner ici cette démonstration , qui pourra intéresser quelques lec- 

 teurs, et que Dàndelin avait déjà fait connaître dans le travail cité plus haut. 



Si nous considérons l'hexagone gauche d d ,(1/1^1^1^ et dans celui-ci trois systèmes de faces 

 opposées deux à deux , comme clj, et </ 3 </ 4 ; </,f/ 2 et </ 4 f/ s ; t/ 3 f/ 4 et rf B d ; il résulte évidemment de la 

 double génération que, chaque couple de faces opposées ayant avec l'un des autres couples deux 

 génératrices communes appartenant aux deux modes de génération , l'intersection de deux faces 

 opposées quelconques aura un point commun avec l'intersection de deux autres faces opposées; 

 et par suite que ces trois intersections, formant un triangle, sont situées dans un même plan. 



Or, si nous menons un plan quelconque , qui coupe les six génératrices de cet hexagone aux 



