118 FONDEMENTS DUNE GÉOMÉTRIE 



même (huile, ou concourent en un même point . les droites qui uniront les 

 deux autres couples de sommets , s'appuieront sur celle même droite, ou con- 

 courront en ce même point. 



Soient, en effet, le système de trigones conjugués 0, 2, 4 et 1 , 3, 5; et 

 un deuxième système 0', 2', 4', et 1', 3', 5'; supposons que les droites 00', 

 11', 22', 33', s'appuient sur une même droite D. Eu menant par cette droite 

 les trois plans tangents T, , T s , T 3 , ainsi que ceux qui passent par les sommets 

 des deux trigones, et en appliquant le théorème qui précède, nous verrons 

 que les trois ternes de plans 



T,,T S ,T 3 ; 0D, 2D, 41); 1D, 5D, 51), 



de même que, 



T,,T 2 ,T 3 ; O'D, 2'D,4'D; l'D, 5D,5'D, 



sont en involution. 



Or les plans OD et O'D, 1D et l'D, 2D et 2'D, ÔD et 3'D coïncident, 

 par hypothèse; donc 4D et 4 D, 5D et 5'D coïncideront également en vertu 

 du Iemme algébrique que nous avons donné sur l'involution, page 15; les 

 droites 44' et 55' s'appuient donc aussi sur D,ce qui démontre la première 

 partie du corollaire. 



La deuxième partie en résulte évidemment. 



De ce corollaire nous déduisons le théorème suivant, qui est l'analogue de 

 celui de Brianchon pour les coniques : 



IV. Extension du théorème de Brianchon. Dans un système de deux 

 tétragones conjugués inscrits à une surface de la troisième classe, les droites 

 qui unissent deux (i deux les sommets opposés concourent en un même point. 

 Considérons en effet les tétragones conjugués 0246 et 1357, que nous 

 décomposons en deux systèmes de trigones conjugués : le premier 028 et 

 579; le second 138 et 469. 



Les droites qui unissent les sommets 0, 1 et 2, 3 se coupent, puisque les 

 génératrices , 3 et 2, 1 se rencontrent au point 9. Nous pouvons donc 

 dire que les quatre droites qui unissent les couples de sommets 0, 1 ; 2, 3; 

 S, 8 et 9, 9 des deux trigones conjugués se coupent en un même point; donc, 

 en vertu du corollaire précédent, celles qui unissent 4, 5 et 6, 7 se coupent 

 en ce même point. 



