SUPÉRIEURE CARTESIENNE. 121 



ces théorèmes, que celui de Desargues qui leur soit généralement appli- 

 cable. 



Nous appelons système de deux lieux conjugués à une surface du n""' 

 ordre un double système de surfaces telles que les intersections de chacune 

 des surfaces du premier système avec celles du second se trouvent sur la 

 surface donnée; de sorte que, si pour la surface S„=0 le premier système de 

 lieux conjugués se compose des surfaces S p et S fy , le second des surfaces S£> 

 et SJ, (en supposant p-{-q=p' +#'=») l'équation S n =0 pourra s'écrire 



s„s,-/cs;,,s;. = s„ = o (i) 



Nous ferons remarquer que les surfaces d'ordre supérieur peuvent toujours 

 se mettre sous cette forme; ainsi, par exemple, si les paramètres de P sont 

 donnés, et tous les autres à déterminer, on poura écrire les équations des 

 surfaces du quatrième, du cinquième et du sixième ordre sous les formes sui- 

 vantes : 



PÀ— P.PA = S t =0; 

 PÂ — PAS =S 5 =0; 



p s 5 -/,-s i s:s; = s 6 = o; 

 et ainsi de suite. 



Cette définition posée, le théorème de Desargues s'énoncera pour tontes 

 les surfaces algébriques : 



Généralisation du théorème de Desargues. Lorsqu'un système de deux 

 lieux est conjugué à une surface algébrique du n ,nc ordre, une droite quel- 

 conque rencontre la figure formée jiar ces deux lieux et la surface en 3n 

 points qui sont en involulion (*). 



Nous démontrerons le théorème pour la forme d'équation (1); on procé- 

 derait de même pour les formes analogues. 



Soit D une droite qui coupe 



S. en 0„ 2 , ... 0„; S, en M, ... M,,; S, en M,, +l ... M„; %, en M\ ... W p . et S' f en M p . +l ... M„. 



Si par le point 0, (x, y, z) on mène à Taxe des z une parallèle qui coupe 



(*) Comp. Poncelet, Traité des propriétés projectives , 2"" éd., t. H . p. 246. 



