122 FONDEMENTS D'UNE GEOMETRIE 



S p , S, etc. aux points N,...N /)5 N p+1 ...N n , etc. dont les z sont respectivement 

 désignés par c, ... z„, etc. on pourra écrire : 



S„ = (z - *,) ...(: - s,). S, = (r - -„ +1 ) ... (z - z„); 



OU 



S„=0,X, ...0,N„. S, = 1 N, +I ...0,N„; 



d'où 



S,.S, = 0,N 4 .„0 4 N.i 

 On trouverait de même : 



s;,s;. = o,n;...o,n;,. 



De sorte qu'en vertu de l'équation (1) nous aurons : 



o,n, ...o i n„ = /c.o 1 n;...o 1 n;. 

 Mais par le théorème de Carnot appliqué aux surfaces, on a aussi : 



0,X, ... 0,X„ = /( . 0,M, ...0,M„: 



o,n; ... o,n;, = A. 0,M, ... 0,M^; 



les rapports // et h' restant constants, quelque soit le point 0,, pour les 

 mêmes directions des sécantes. 



Les trois égalités précédentes auront encore lieu si l'on y substitue les 

 points 2 ...0„ au point 0,, et l'on en déduira : 



0,M,...0,M„ 0,M,... (»,M„ 0.M, ... O.M. 



o,m, ... o,m; OjM; ... o s m; o„m; ... o„m;, 



ce qu'il fallait démontrer. 



En traduisant en coordonnées tangentielles les résultats qui précèdent, on 

 démontrera pour les surfaces algébriques le corrélatif du théorème de De- 

 sargues, et l'on déduira de ces théorèmes ceux de Pascal et de Brianchon; 

 après les développements que nous avons donnés à ces modes de démonstra- 

 tion dans la théorie des courbes algébriques, et dans celle des surfaces du 

 second et du troisième degré, le lecteur n'éprouvera aucune difficulté à tirer 

 ces déductions; nous nous bornerons donc, pour bien faire voir la dualité 

 qui existe entre les deux genres de théorèmes, à mettre en regard, dans le 

 tableau suivant, les propriétés correspondantes des surfaces du »""' ordre et 

 de celles de la h""' classe. 



