SUPERIEURE CARTESIENNE. 



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Dans la colonne de gauche, S„ représentera une surface du n'" 1 ' ordre, S, 

 un plan; dans celle de droite, -S,, représentera une surface de la n'" e classe, 

 S, un point. 



.S„ (si coupée par une droile eu n points : si la droite 

 varie le lieu île ces points conslilue S„. 



S,, S,„, S„ oui m.n points communs. 



Si S, varie, le lieu de ces points communs à S,„ et 

 S„ sera tel que tout plan S, le coupe en mn points; 

 c'est une courbe d'ordre mn. 



S n = S,„ — fcS„. = est l'équation d'une surface 

 qui renferme tous les points communs à S,„ et S m .. 



Si ces lieux S ra et S»,' sont du n"" ordre, ils sont 

 conjugués à S„. 



THEOREME DE DESARGUES. 



Lorsqu'un système de deux lieux est conjugué à 

 une surface du n ms ordre, une droile quelconque ren- 

 contre la figure formée par ces deux lieux et la sur- 

 face en 3/i points qui sont eu in vol ut ion. 



THÉORÈME DE PASCAL. 



Si deux systèmes de lieux conjugués à une surface 

 du n m ' ordre sont tels que n-t-1 points d'intersection 

 de ces systèmes soient en ligne droite, il y aura n— 1 

 autres points d'intersection de ces systèmes sur cette 

 même droite. 



it 



cmnni:. 



Par une droite ou peut mener n plans tangents à 

 S„ : si la droite varie, l'enveloppe de ces plans con- 

 stitue S„. 



S,, S,„, S„ ont m. n plans tangents communs. 



Si S, varie, l'enveloppe de ces plans tangents com- 

 muns à S m et S„ sera telle que par tout point S, on 

 peut lui mener mn plans tangents; c'est une courbe 

 de classe mn. 



S„ = S m — /iS,„. = est l'équation d'une surface à 

 laquelle sont tangents tous les plans tangents à la fois 

 à S„, et S m .. 



Si ces lieux S„, et S,„. sont de la n"" classe, ils sont 

 conjugués à S„. 



THEOREME CORRÉLVTIF. 



Lorsqu'un système de deux lieux est conjugué à 

 une surface de la n"" classe, si par une droite quel- 

 conque on mène à ces deux lieux et à la surface 

 on plans tangents, ces plans seront en involution. 



THÉORÈME DE RT'.IANCHON. 



Si deux systèmes de lieux conjugués à une surface 

 de la il"'" classe sont tels (lue n -+- 1 plans tangents 

 communs à ces systèmes se coupent suivant une 

 droite, il y aura n — 1 autres plans tangents à ces sys- 

 tèmes, qui se couperont suivant cette même droite. 



Ces théorèmes présenteront pour l'étude des surfaces algébriques les mêmes 

 avantages qu'offrent, pour l'étude des courbes planes, les théorèmes analogues. 

 Il faudrait, pour les appliquer, aborder la théorie des surfaces particulières, 

 ce que nous ne pourrions faire sans abandonner l'objet essentiel de notre 

 travail, l'extension des théorèmes fondamentaux de la géométrie supérieure. 

 Au reste, au delà du troisième ordre et de la troisième classe, il n'existe plus, 

 en général, de systèmes de polyèdres conjugués réels, de sorte que les 

 théorèmes les plus intéressants font défaut. On pourrait, à la vérité, en pro- 

 cédant comme nous l'avons fait dans X Addition à la théorie des courbes 

 planes, arriver de même à généraliser le théorème de Pascal pour les sur- 



