ir><> FONDEMENTS D'UNE GEOMETRIE 



celui du triangle, le point d'intersection des trois autres faces décrira un 

 cylindre du second degré passant par les sommets du triangle et perpendi- 

 culaire à son plan. 



Poursuivons ces analogies entre les propriétés du plan et celles de l'espace, 

 et cherchons quel est le théorème qui correspond, dans l'espace, au théorème 

 généralisé de Newton. 



Considérons trois dièdres constants (a), (b), (c),dont les faces supérieures 

 forment avec la hase des dièdres («), (,5), {-/) satisfaisant à la relation 



\- nsy h- ppy -+- m'y-t- n'p -+- p'x -+- q = (5) 



Les faces inférieures formeront avec la hase des dièdres 



««'— î 



(x) = (a) — («) , etc. : Cl OU a = — ; > Ole. , 



a ■+- a 



valeurs qui, substituées dans l'équation (5), donneront : 



m(aa— î)(6p'— l)fr'-+-f) +•-' m'[cr'—i){z'+a)(F -*-(*) h (-</(«' -t a)(p'-4 6)(-' + r) = 0. (G) 



D'où résulte le théorème suivant : 



IV. Théorème analogue au théorème généralisé de Newton. Lorsque 

 trois dièdres constants, qui ont pour arêtes tes trois côtés d'un triangle, 

 tournent autour de ces arêtes de manière que le point d'intersection des faces 

 supérieures décrire nue surface du. second degré //assaut par les pâtes, le 

 point d'intersection des autres faces décrira une surface du troisième ordre 

 passant également par les pôles. 



Ce théorème, de même que le premier, donne lieu à des cas particuliers 

 très-remarquables. 



Si l'on considère le terme en «'/3'/, on verra qu'il a pour fadeur 



mah -+- miv -f pbc -+- m'r -+- n'h -+- p'a -*- q, 



et qu'il disparaîtra si les trièdres constants satisfont à l'équation de la sur- 

 face (5); donc : 



V. Cas particulier. Lorsque les trois dièdres constants à ta base d'un 

 tétraèdre tournent autour de leurs arêtes de manière que le sommet du 



