SÉANCE DU 7 JUILLET 1902. l3 



» Le polynôme K„(3), quand n croît indéfiniment, tend vers/(:;) à 

 l'intérieur de l'étoile a. Si l'on veut encore, posons n„^K„— R„_,, 

 IIp = Ko =/(o) ; les Un sont des polynômes de lajorme {i) et la série 



(S) n„(2)-hn,(.^) + ...+n„(i;) + ... 



converge uniformément versf(^z~) dans toute aire intérieure à l'étoile x. Mais, 

 de plus, elle converge sur toute droite L qui ne renferme que des pôles. 



» Précisons les propriétés de cette série S. Soit 5, = po (cosG,, + ï sinO„) 

 un point d'une demi-droite L, et admettons qu'entre les deux demi-droites 

 Op et Go H- A (A > o) il n'y ait pas, à l'intérieur du cercle | 2 | 5 po, de sin- 

 gularités de /( = ); la fonction /(s) est alors holomorphe dans le secteur 

 de cercle ainsi défini D; si, au point z^ du contour de D, elle est encore 

 holomorphe et prend la valeur /„, nous dirons que la valeur de /(s) à 

 gauche de L est holomorphe pour z = :;„ et égale à fg ; quand tous les 

 points ^0 à\\n segment de L satisfont aux conditions précédentes, nous 

 dirons que ce segment est régulier pour f(z) à gauche de L. 



» Puisque Zg est sur une demi-droite exceptionnelle L, la fonction /(z), 

 holomorphe dans le secteur D, présente au moins un point singulier, sur 

 la droite O^, entre o et z^. Représentons par S la distance d'un pointe à 

 cette droite, et supposons que dans D on ait : 



|/(s)|<e'^'' (>fc entier positif) ('). 



» Dans ces conditions, la série S converge pour z =Zg et représente f„; 

 elle converge uniformément sur tout segment de L (entre o et e„) régulier 

 pour f(z) à gauche de L. En particulier, si la demi-droite L ne renferme 

 que des points singuliers algébriques de/(z), la série S converge tout lelong 

 de L {sauj peut-être aux points singuliers) et représente la valeur de f(z) à 

 gauche de L. 



(') Il est loisible de remplacer l'inégalité précédente par une inégalité 

 où ta est une fonction donnée qui croît avec - aussi vite que l'on veut. Il faut alors, 



dans les égalités (5), remplacer s/logn par une fonction de n qui croit plus lentement 

 avec n. 



