l4 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



)) 3. Si, dans les égalités (5), on change le signe de i, tons les résultats 

 précédents subsistent, à cela près qu'il faut introduire la valeur de f{z) à 

 droite de L au lieu de la valeur à gauche. 



» D'après cela, représentons par S, la série déduite de S en changeant! 

 en — I dans les égalités (5), et par 28^, 2183 les séries obtenues en ajou- 

 tant et en retranchant terme à terme les séries 8 et 8, . Pour plus de clarté, 

 plaçons-nous dans le cas où la fonclion/(G) définie par (i) est algébrique, 

 et (::o désignant un point d'une demi-droite L) appelons /g(zo) et/,/(so) 

 les valeurs de f(z), pour z = z-^, à gauche et à droite de L. Les séries 8, 

 8,, So sont des séries (M); elles convergent dans tout le plan [sauf aux 

 infinis de/(2)]; elles convergent uniformément dans toute aire intérieure à 

 l'étoile Cf., ainsi que sur tout segment de demi-droite L dénué de points singu- 

 liers; elles représentent /(;;) dans l'étoile oc; sur les demi-droites L, les 

 trois séries S, S,, S, convergent respectivement vers 



/,(.), Mz), i^. 



Quant à la série 83, ses termes ont encore la même forme que ceux d'une 

 série (M); elle converge de la même manière que les précédentes, mais 



elle est égale à zéro dans toute l'étoile a., et à ' ■'•' / '' sur les demi-droites L. 



o '2 1 



I 



» 4. Appliquons ces généralités à la fonction (i — s)\ La série 8, con- 



i. 

 verge dans tout le plan : elle représente (1 — s)'" quel que soit z, sauj sur la 



demi-droite réelle (i , -l-ao), ou elle est nulle. La séiie 83 converge au con- 

 traire vers zéro dans tout le plan, sauf sur la même demi-droite où elle est 



égale à sjx'^^i. Soit de même f{z) — {i — -)'; les séries 8, S,, 8^ con- 



1 

 vergent vers (i — zy dans tout le plan; sur la même demi-droite 



(1, +!X)), elles ont respectivement pour valeur 



-(.-,)'(^^). -(.-.)■. -(.-,)' (^)^ 



quant à 83, elle converge vers zéro, sauf sur la même demi-droite, où elle 



/3 - 



tend vers — ^(a: — lY . 



1 



» 8oit encore /(z)=^ ^,^ ^ (i — ^\ ,/7, ^désignant des entiers 



positifs quelconques et a^,^ la quantité f cos-^ -+- isin ^\- Les branches de 



