SÉANCE DU 7 JUILLET 1902. l5 



f(z) sont tontes holomorphes clans la circonférence r de ravon t et de 

 centre O, et à l'extérieur de cette circonférence (qui est une coupure essen- 

 tielle de toutes ces branches). La série S, converge dans tout le plan, repré- 

 sente /(z) dans r, et coïncide à l'extérieur de T avec une infinité de fonc- 

 tions analytiques distinctes; sur chaque demi-droite issue de l'origine et 

 extérieure à r, S^ représente une fonction holomorphe (le long de la 

 demi-droite), mais cette fonction change quand la demi-droite pivote 

 autour de l'origine, et les diverses fonctions ainsi représentées ne sont pas 

 les branches d'une même fonction analytique. En particulier, 83 coïncide 

 sur certaines demi-droites avec une branche de chacune des fonctions 

 obtenues en supprimant, dans f(z), un quelconque des termes 



» 5. La plupart des auteurs qui ont écrit sur les séries (M) ont admis 

 implicitement que, si elles convergent (en dehors de l'étoile) en des 

 points z où /(-) existe encore, elles représentent /(:;) (ou une de ses 

 branches). M. Borel a même eu l'idée ingénieuse et hardie de se servir des 

 séries (M) pour étendre les fonctions analytiques au delà de leurs lignes sin- 

 gulières, et il a formé des exemples où cette extension apparaît comme 

 naturelle. Il est clair qu'une telle idée n'est admissible qu'à condition de 

 ne jamais entrer en contradiction avec le prolongement analytique clas- 

 sique : or nous venons de former des séries (M) qui convergent sur tout 



j. 

 l'axe réel et représentent ( 1 — a;)' poui x <^i et zéro pour x^ i. Cela ne 



signifie point que l'idée de M. Borel doive être abandonnée, mais que, 

 pour la poursuivre, il sera nécessaire d'imposer aux séries (M) certaines 

 restrictions. 



» 6. Les résultats énoncés dans cette Note s'étendent immédiatement 

 aux fonctions de plusieurs variables, soit de trois variables z,u,v : d'après 

 le principe général que j'ai énoncé (^Comptes rendus, loc. cit.), il suffit de 

 remplacer s, u, v par zt, ut, vt, de développer en série (M) la fonction 

 de / ainsi obtenue et de faire / = i. En particulier, une fonction méro- 

 morphe de z, u, v est représentable par une série de polynômes [de l'es- 

 pèce (M)], soit 2P„(z, «, v), pour toute valeur de z, u, ('(sauf aux pôles). " 



