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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Application de la méthode de la moyenne arith- 

 métique aux surfaces de Riemann. Note de M. A. Korn, présentée par 

 M. Emile Picard. 



« J'appelle transformation de Poincaré correspondant à un contour s, 

 fermé dans le plan, toute transformation 



X = X(^,j), Y = Y(a;, r), 

 x = x{\,Y), j=j(X, Y), 



qui définit une correspondance uniforme entre les points intérieurs d'un 

 cercle (dans le plan des X, Y) et les points intérieurs de s (dans le plan 

 des a?, y), et une correspondance uniforme entre les points extérieurs du 

 même cercle et les points extérieurs de s, sous la seule supposition que les 

 fonctions X, Y et x, y soient continues dans tout le plan, et qu'elles 

 admettent des dérivées 



çiX (^ (^ dY Û£ ^ ^ ^' 



dx' dy' dx' dy' dX' dY' dX' dY 



finies et inlégrables. 



» On peut trouver de telles transformations pour tout contour s dont 

 l'intérieur est simplement connexe, s'il est de courbure continue (A. K.orn, 

 Lehrbuch der Potentiallheorie, 2° Vol., p. 3o2) ou un composé d'un 

 nombre fini de lignes (') de courbure continue (A. Rorn, Abhandlungen 

 zur Potentialtheorie, n" 2, p. 19). Avec la connaissance d'une telle transfor- 

 mation, on peut démontrer que la méthode de M. Neumann résout le pro- 

 blème de Dirichlet pour l'intérieur et l'extérieur de s, en supposant les 

 valeurs limites y de la fonction harmonique cherchée continues (ou conti. 

 nues par intervalles) (-). 



» Il est facile de généraliser ces résultats en passant du plan aux sur- 



(') A pari des sommets formés par ces différentes parties du contour, toute singu- 

 larité est exclue; nous excluons aussi les pointes. 



(*) Pour les contours composés, il faut encore une condition supplémentaire sur f 

 aux environs des sommets (qui est du reste toujours remplie, si f admet des premières 

 dérivées finies et intégrables). 



