SÉANCE DU 21 JUILLET 1902. l5l 



relatif à un point de AC donne une série convergente sur CB; il faut aussi que 

 l'on puisse revenir d'un point quelconque de CB et trouver sur AC la fonc- 

 tion dont on est parti; il faut enfin que les dérivées existent en C et que 

 le développement (M) correspondant représente aussi la fonction sur ACB. 

 Ces diverses conditions ne sont pas vérifiées dans les exemples que donne 

 M. Painlevé. Ces exemples ne sauraient donc entraîner aucune restriction 

 nouvelle à la définition des fonctions (M). 



» Il était d'ailleurs aisé de former des développements, bien moins inté- 

 ressants que ceux de M. Painlevé, au point de vue de la théorie générale 

 des fonctions, mais tout à fait analogues et entraînant les mêmes consé- 

 quences au point de vue de la généralisation du prolongement analytique. 

 On sait en effet qu'en remplaçant les droites de M. Mittag-Leffler par des 

 courbes quelconques, et en particulier par des spirales logarithmiques, il 

 est possible de définir les diverses branches de toute fonction non uniforme ; 

 si./ii./^. • • -j 4 désignent n de ces développements et si l'on pose 



^ ^ (7, + «2 -+-... + a„ ' 



on obtient un développement qui représente la fonction au voisinage de 

 l'origine, et qui, dans certaines régions du plan, représente une combi- 

 naison linéaire des n branches considérées. Il y a seulement, en général, 

 des lignes de discontinuité; mais en choisissant un point singulier oij la 

 fonction reste finie, il peut y avoir continuité sur une droite issue de l'ori- 

 gine et passant par ce point. 



» On pourrait ainsi concevoir une théorie plus étendue que celle du 

 prolongement analytique, et dans laquelle on étudierait un corps à^ fonctions 

 comprenant à la fois les diverses branches d'une même fonction analytique, 

 et leurs combinaisons de la forme (i) ; d'ailleurs, une fonction / ne serait 

 dite un représentant complet du corps que si, en partant de f, on peut 

 retrouver toutes les fonctions du corps : c'est ce qui a lieu visiblement, au 

 moins pour une fonction algébrique, si a,, a,, . . ., fl„ sont quelconques. 



» Mais revenons à la généralisation proprement dite de la théorie du 

 prolongement analytique; il ne suffit pas qu'elle ne soit pas en contradic- 

 tions avec la théorie classique, il faut aussi qu'elle ne soit pas en contra- 

 diction avec elle-même et surtout qu'elle ne soit pas trop compliquée. 

 C'est pourquoi il me paraît qu'on sera amené à faire un choix parmi l'infi- 

 nité des développements (M) possibles : ce choix sera d'autant plus aisé 

 que ces développements auront été mieux étudiés. Il se présentera des 



